純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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268: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/01(日) 16:42:37.65 ID:x1AjdVpC

>>267
つづき

§ 4 β およびその共役元
L/F は Kummer 拡大なので，適当な a ∈ F を用いて L = F(
√5 a) と表示することができる．a は通常通り次
のようにすれば求められる．
α0, α1, α2, α3, α4 を次のように定義する．
略
これら５つの F 上共役な元を用いて β を
β = α0 + α1η + α2η^2 + α3η^3 + α4η^4
と定義すると，
略
が成り立つので，β, βη, βη^2, βη^3, βη^4 は F 上すべて共役で，すべて x
5 - β^5 = 0 の解であり，
NL/F β = β ・ βσ・βσ2・βσ3・ βσ4= β・βη^4・βη^3・βη^2・βη = β5 ∈ F
であることが分かる．従って β5 を具体的に計算すれば，β はその元の 5 乗根として巾根表示されることになる．

§ 5 β^5 の計算
従って β =（略)＾1/5

§ 6 β0, β1, β2, β3, β4 の定義と，α0 の表示
．従って，α0 =1/5(β0 + β1 + β2 + β3 + β4)=略
が得られる．これにより ζ11 が巾根で表示できたことになり，問題は解決したといってもよい．た

§ 7 β の具体的な表示
略

§ 9 計算に役立ついくつかの事実
(1) Q の素イデアル (11) は F/Q では完全分解し，K/Q では完全分岐する．
(2) F も K も類数は 1 である．
F における 11 の素イデアルが (η - 3, 11), (η - 4, 11), (η - 5, 11), (η - 9, 11) であることはすぐに分か
るが，これらは単項なので，生成元を見つけておきたい．適当な単項イデアルのノルムをいくつか計算してみる
と (η - 9, 11) = (η + 2) であることがすぐに分かる．後はこの共役イデアルを考えれば，(η - 3, 11) = (η^2 + 2),
(η - 4, 11) = (η^3 + 2), (η - 5, 11) = (η^4 + 2) が得られる．
　この結果を用いると，例えば節４で表れた -η^3 - 2η^2 + 2η は，NF/Q(-η^3 - 2η^2 + 2η) = 112 であることか
らイデアルとして (-η^3 - 2η^2 + 2η) = (η - 4, 11)(η - 5, 11) = (η^3 + 2)(η^4 + 2) であることが分かり，数として
-η^3 - 2η^2 + 2η = η(η^3 + 2)(η^4 + 2) と素因数分解できることに気付く．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/268

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