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149: 2022/01/10(月)10:50 ID:fb/Z7vhs(1/6) AAS
二つの級数 Σa_n, Σb_n が与えられたとき、 a_i * b_j = a_{ij} とおく。いま、自然数の組 (i, j) の全体を一列に並べると級数 Σc_{ij} が定まる。
これらの級数について次の定理が成り立つ。
定理15.
Σa_n と Σb_n とが絶対収斂するならば、 Σc_{ij} も絶対収斂して
Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n.
特に、 c_n = a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n とおけば、 Σc_n は絶対収斂し
Σc_n = Σa_n * Σb_n.
150: 2022/01/10(月)11:00 ID:fb/Z7vhs(2/6) AAS
後半の証明ですが、
|c_n| = |a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n| ≦ |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n|
d_n = |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n| を第 n 項とする級数 Σd_n は収斂級数 Σ|c_{ij}| 「部分級数」であるから収斂する。
よって、 Σ|c_n| は収斂する。
Σc_n は Σc_{ij} の「部分級数」であるから Σc_{ij} と同じ値に収斂する。
省2
151: 2022/01/10(月)11:01 ID:fb/Z7vhs(3/6) AAS
訂正します：
後半の証明ですが、
|c_n| = |a_n*b_1 + a_{n-1}*b_2 + … + a_1*b_n| ≦ |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n|
d_n = |a_n|*|b_1| + |a_{n-1}|*|b_2| + … + |a_1|*|b_n| を第 n 項とする級数 Σd_n は収斂級数 Σ|c_{ij}| の「部分級数」であるから収斂する。
よって、 Σ|c_n| は収斂する。
省3
152(1): 2022/01/10(月)11:05 ID:fb/Z7vhs(4/6) AAS
Σc_n = Σc_{ij} = Σa_n * Σb_n
が成り立ちますが、
Σ|c_n| ≦ Σ|c_{ij}| = Σ|a_n| * Σ|b_n|
ですよね。
これって不思議じゃないですか？
省1
160(1): 2022/01/10(月)20:18 ID:fb/Z7vhs(5/6) AAS
A, B を n 次複素正方行列とし、 A*B = B*A が成り立つとする。
(I_n + A + (1/2!)*A^2 + (1/3!)*A^3 + …) * (I_n + B + (1/2!)*B^2 + (1/3!)*B^3 + …) = (I_n + (A + B) + (1/2!)*(A + B)^2 + (1/3!)*(A + B)^3 + …)
が成り立つ。
A, B が 1 次複素正方行列の場合と同じように証明するにはどうすればいいですか？
162(1): 2022/01/10(月)20:40 ID:fb/Z7vhs(6/6) AAS
>>160
あ、何も変更する点はないですね。
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