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分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
分からない問題はここに書いてね 470 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/
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881: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 10:57:48.30 ID:cnHWXa61 >>841 >>874 第2問 (1) a_1 = 1 a_2 = 2 a_3 = 5 ≡ 0 (mod 5) a_4 ≡ 0^2 + 1 = 1 (mod 5) a_5 ≡ 1^2 + 1 = 2 (mod 5) a_6 ≡ 2^2 + 1 = 5 ≡ 0 (mod 5) よって、明らかに、 3 | n ⇒ 5 | a_n http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/881
882: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 11:05:32.08 ID:cnHWXa61 >>841 >>874 第2問 (2) a_n は単調増加数列である。 よって、 1 ≦ m < k のとき、 a_m ≡ 0 (mod a_k) は成り立たない。 明らかに、 a_k ≡ 0 (mod a_k) である。 a_{k+1} = a_{k}^2 + 1 ≡ 0^2 + 1 = 1 = a_1 (mod a_k) a_{k+2} = a_{k+1}^2 + 1 ≡ a_{1}^2 + 1 = a_2 (mod a_k) a_{k+3} = a_{k+2}^2 + 1 ≡ a_{2}^2 + 1 = a_3 (mod a_k) … a_{k+k} = a_{k+(k-1)}^2 + 1 ≡ a_{k-1}^2 + 1 = a_k ≡ 0 (mod a_k) よって、明らかに、 k | n ⇔ a_k | a_n http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/882
883: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 11:13:36.19 ID:cnHWXa61 >>841 >>874 第2問 (3) 8091 = 4 * 2022 + 3 a_8088 = a_{4 * 2022} ≡ 0 (mod a_2022) a_8089 = a_{8088}^2 + 1 ≡ 1 (mod a_2022) a_8090 = a_{8089}^2 + 1 ≡ 2 (mod a_2022) a_8091 = a_{8090}^2 + 1 ≡ 5 (mod a_2022) よって、 (a_8091)^2 ≡ 5^2 = 25 (mod a_2022) (a_8091)^2 = q_1 * a_2022 + 25 a_2022 = q_2 * 25 + r_2 a_1 = 1 a_2 = 2 a_3 = 5 a_4 = 26 ≡ 1 (mod 25) a_5 = a_{4}^2 + 1 ≡ 1^2 + 1 = 2 (mod 25) a_6 = a_{5}^2 + 1 ≡ 2^2 + 1 = 5 (mod 25) よって、明らかに、 3 | n ⇔ a_n ≡ 5 (mod 25) 2022 = 674 * 3 よって、 a_2022 ≡ 5 (mod 25) よって、 r_2 = 5 よって、 GCD(a_2022, (a_8091)^2) = 5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/883
884: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 11:20:51.41 ID:cnHWXa61 >>874,876 おそらく、(1)は、 ある整数を法として、 a_n を計算してみる というヒントを与えているのだと思います。 3 とか 5 とかいう整数は別に何でも良かったのだと思います。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/884
885: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 11:23:00.05 ID:cnHWXa61 (2)では、a_n が a_k で割り切れるかどうかが問題です。 (1)でのヒント「ある整数を法として、 a_n を計算してみる」に従って、 を a_k を法として a_n を計算してみると自然と答えが分かります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/885
886: １３２人目の素数さん [sage] 2022/02/28(月) 11:23:34.46 ID:cnHWXa61 >>885 訂正します： (2)では、a_n が a_k で割り切れるかどうかが問題です。 (1)でのヒント「ある整数を法として、 a_n を計算してみる」に従って、 a_k を法として a_n を計算してみると自然と答えが分かります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/886
891: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 13:08:05.49 ID:cnHWXa61 >>874 あまりいい問題でないのは確かですね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/891
892: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 13:17:18.61 ID:cnHWXa61 (1)はヒントのための問題だとしか思えません。 ヒントを出すのなら、分かりやすいヒントにすべきです。 ヒントとして働きにくい分かりにくいものなど書かないほうがマシではないでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/892
893: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 13:21:03.89 ID:cnHWXa61 (3)のヒントとして、(2)を出題する。 (2)にはヒントをつけない。 これが正解だと思います。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/893
896: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 14:07:58.71 ID:cnHWXa61 (1)を(2)のヒントとしてつけるなら、 (0) a_3 を計算せよ。 (1) k = 3 のとき、 k | n ⇔ a_k | a_n であることを示せ。 とするのがいいと思います。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/896
897: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 14:09:38.30 ID:cnHWXa61 そもそもヒントで難易度を調整しようという発想が間違っています。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/897
898: １３２人目の素数さん [sage] 2022/02/28(月) 14:15:03.97 ID:cnHWXa61 >>896 のように素直にヒントを与えるのならいいのですが、それはヒントとして大きすぎるとかやりだすとこの問題のようにみっともなくなってしまいます。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/898
906: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 18:22:08.89 ID:cnHWXa61 >>902 13. c. m = 3/2 https://www.wolframalpha.com/input?i=series+%281+%2B+x%29%5E%281%2F2%29+*+exp%28%283%2F2%29*x%29 m = -5/2 https://www.wolframalpha.com/input?i=series+%281+%2B+x%29%5E%281%2F2%29+*+exp%28%28-5%2F2%29*x%29 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/906
908: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 18:25:21.72 ID:cnHWXa61 >>902 高校で、マクローリン展開なんてやるんですね。 でも、この問題、特にb.はひどい問題ですね。 その式を見つけさせて、数学的帰納法で証明せよという問題にすべきですね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/908
911: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 19:19:24.70 ID:cnHWXa61 >>902 c. の計算です。 https://i.imgur.com/ibmCLsz.jpg http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/911
912: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 19:22:56.77 ID:cnHWXa61 >>911 訂正します： >>902 https://i.imgur.com/E0rzg45.jpg http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/912
915: １３２人目の素数さん [] 2022/02/28(月) 19:57:06.52 ID:cnHWXa61 >>902 https://i.imgur.com/HVju7o7.jpg http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630085480/915
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