[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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490: 2022/02/05(土)17:36 ID:1NskAjap(1/9) AAS
位数 4 の群をすべて求めよ。
(Z/(4*Z), +) は位数 4 の巡回群である。
よって、位数 4 の巡回群は存在する。
G = {e, a, b, c} が巡回群ではないとする。
G の元の位数は、 e の位数が 1 で、他の3つの元の位数は 2 である。
Cayley Tableは以下のように必然的に決まる。
e * e = e
e * a = a
a * e = a
e * b = b
b * e = b
e * c = c
c * e = c
a * b = c
b * a = c
b * c = a
c * b = a
c * a = b
a * c = b
a * a = e
b * b = e
c * c = e
このCayley Tableによって定義された2項演算「*」が結合法則を満たすことって、わざわざ確かめる必要はありますか？
S_4 の部分群 H = {id, (1 4) * (2 3), (1 2) * (3 4), (1 3) * (2 4)} の各元に G の元を以下のように対応させます：
id <-> e
(1 4) * (2 3) <-> a
(1 2) * (3 4) <-> b
(1 3) * (2 4) <-> c
G のCayley Tableの e, a, b, c を対応する H の元で置き換えればそれで、 H の Cayley Tableが出来上がります。
そして、 H は S_4 の部分群なので、結合法則が成り立ちます。
ですので、 G の2項演算「*」も結合法則を満たすことは明らかです。
群論で、このようなテクニックが使われることはありますか？
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