[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね433 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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892(4): 2017/09/09(土)23:41 ID:8ZI/xm+M(1) AAS
Σ[k=0,n](k*C(n,k)^2)ってどうやって解けばいいんでしょうか？
Wolframalphaで計算させると
n*C(2n,n)/2になるらしいです
とりあえず
Σ[k=0,n](k*C(n,k)^2)
=n*Σ[k=1,n](C(n-1,k-1)*C(n,k))
まで式変形しましたがここから手がとまってしまいました
Σ[k=0,n](C(n,k)^2)=C(2n,n)を使えるような形にもっていければいいと思うのですが…
893: 2017/09/09(土)23:59 ID:rohOwJh1(2/2) AAS
>>892
母関数かな
903(1): 2017/09/10(日)07:42 ID:Fx9QUFQ1(3/4) AAS
>>892
C(n-1,k-1)*C(n,k) を
横k-1、縦n-kの格子状道路の最短経路の総数と
横n-k、縦kの格子状道路の最短経路の総数との積
と考えれば、k=1,2,3,...,nの和をとることで
横n-1、縦nの格子状道路の最短経路の総数
と一致することがわかる。その最短経路を
n-1ステップ目の位置で場合分けして
足したものと捉える。
省3
905(1): 2017/09/10(日)08:49 ID:Z+PSAn+R(1) AAS
>>892
＞Σ[k=0,n](k*C(n,k)^2)
＞=n*Σ[k=1,n](C(n-1,k-1)*C(n,k))
から出発する。C(n,k)=C(n,n-k) だから、Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)*C(n,n-k) について
考えればよい。
( Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)x^{k-1} ) * (Σ[k=1,n] C(n,n-k)x^{n-k} )
を展開したときの x^{n-1} の係数は Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)*C(n,n-k) である。一方で、
( Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)x^{k-1} ) * (Σ[k=1,n] C(n,n-k)x^{n-k} )
省5
908: 2017/09/10(日)21:38 ID:vOF7rWh4(1) AAS
>>892 蛇足気味ですが、一応アップしておきます
C[n,k](C[n-1,k-1]-C[n-1,k])=C[n,n-k] C[n-1,n-k] - C[n,k] C[n-1,k]
第一項と第二項は、k=1からn-1まで和を取ると、同じ物になるので、
Σ[C[n,k](C[n-1,k-1]-C[n-1,k]),{k=1,n-1}]=0
他方、C[n,k](C[n-1,k-1]-C[n-1,k])=((2k/n)-1)C[n,k]^2 なので、
Σ[k C[n,k]^2,{k=1,n-1}]=(n/2)Σ[C[n,k]^2,{k=1,n-1}]
左辺に 0*C[n,0]^2 + n*C[n,n]^2 = n、右辺に (n/2)C[n,0]^2 + (n/2)C[n,n]^2 =n を加えて
Σ[k C[n,k]^2,{k=0,n}]=(n/2)Σ[C[n,k]^2,{k=0,n}]=(n/2)C[2n,n]
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