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926(1): 2017/07/20(木)18:27 ID:+3BzlDUH(1/8) AAS
2変数の多項式 P(X, Y) が同次 j 次多項式であるための必要十分条件は、
P(X, Y) = c_0 * X^j + c_1 * X^(j-1) * Y + … + c_j * Y^j
と表わされることである。
これを証明してください。
927(3): 2017/07/20(木)18:33 ID:+3BzlDUH(2/8) AAS
P(X, Y) = c_0 * X^j + c_1 * X^(j-1) * Y + … + c_j * Y^j
(c_0, c_1, …, c_j) ≠ (0, 0, …, 0)
であるとき、
∃(A, B) ∈ R × R s. t. P(A, B) ≠ 0
を証明してください。
929(1): 2017/07/20(木)19:11 ID:+3BzlDUH(3/8) AAS
>>927
P(X, 1) = c_0 * X^j + c_1 * X^(j-1) + … + c_j
k = min {k | c_k ≠ 0}
とする。
P(X, 1) = c_k * X^(j-k) + … + c_j
省13
933(3): 2017/07/20(木)19:30 ID:+3BzlDUH(4/8) AAS
P(t) = a_0 * X^n + a_1 * X^(n-1) + … + a_n
(a_0, a_1, …, a_n) ≠ (0, 0, …, 0)
と仮定する。
このとき、
P(a) ≠ 0 となるような実数 a が存在する。
証明
省11
935(1): 2017/07/20(木)20:01 ID:+3BzlDUH(5/8) AAS
P(X, Y) = c_0 * X^j + c_1 * X^(j-1) * Y + … + c_j * Y^j
任意の実数 t に対して、
P(t*X, t*Y) = t^j * P(X, Y)
が成り立つと仮定する。
P(X, Y) が c * X^k1 * Y^k2, k = k1 + k2 ≠ j となるような項を含むと仮定する。
省16
936: 2017/07/20(木)20:02 ID:+3BzlDUH(6/8) AAS
>>932
無限体だとなぜ成り立つのでしょうか？
その証明が必要なのではないでしょうか？
937: 2017/07/20(木)20:04 ID:+3BzlDUH(7/8) AAS
>>935
訂正します（1行目を削除）：
任意の実数 t に対して、
P(t*X, t*Y) = t^j * P(X, Y)
が成り立つと仮定する。
P(X, Y) が c * X^k1 * Y^k2, k = k1 + k2 ≠ j となるような項を含むと仮定する。
省16
941(1): 2017/07/20(木)23:01 ID:+3BzlDUH(8/8) AAS
>>926
は、野村隆昭 著『微分積分学講義』に証明なしで書いてあります。
そんなに自明なことでしょうか？
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