２つの封筒問題 Part.3 [無断転載禁止]©2ch.net

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433: １３２人目の素数さん [sage] 2017/04/04(火) 02:12:26.49 ID:D6+98tjJ

二封筒問題で、封筒の事前分布をどのように
仮定しても、その仮定が主観的に同意できる
ものならば構わないが、あまり変な仮定だと
「ふ〜ん。それで？」で終わる。

A,B が生じる確率 P(A),P(B) は 10000円を
見る前から決まっていると考えるのが妥当。
その上で、10000円を見た後の事後確率
P(A|AorB)=P(A)/{P(A)+P(B)},
P(B|AorB)=P(B)/{P(A)+P(B)} が決まる。
P(A|AorB)=P(B|AorB)=1/2 と仮定することは、
振り返れば、P(A)=P(B) と仮定していたこと
と同じである。

事前分布を仮定する時点では、開けた封筒が
10000円とは知れていないのだから、
もし P(A)=P(B) を仮定するのであれば、
開けた封筒の中身 y がどんな金額であっても
{y/2,y}, {y,2y} の確率は同じと仮定すべき。
すなわち {x,2x} を一様分布とすべきだが、
>>1 の条件
＞２つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額は
＞もう一方の封筒に入っている金額の２倍である
を満たす x の候補が無限にある以上、
可算一様分布が存在しないことで破綻する。
つまり、P(A)=P(B) と仮定することは不合理。

散々言われているように、x の範囲を制限して
事前分布を {{x,2x}|xはM以下の自然数} とすれば、
x を一様分布と仮定することは可能であり、
M≧5000 という条件下には P(A)=P(B) となる。
しかし、x を M≧5000 の一様分布 U(1,M) なり
U(0,M) と仮定することに何の妥当性があるのか？
問題文に無い M を勝手に置くことは、恣意的な
問題の改変ではないか。
改変した問題を解いても、二封筒問題としては
「ふ〜ん。それで？」という話でしかない。

わからないものの分布を一様分布に仮定するのは、
理由不十分の原理といって、常識的な仮定だが、
二封筒問題で M を置く分布は、
P(x>M)=0 である以上、>>423 に書いたように
一様分布ではない。
どういう理由で、問題に別の仮定を加えることが
妥当だと思うのか。そこを説明しないかぎり、
「仮定は自由」だけでは、もとの二封筒問題を
解いたことにならない。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1489358280/433

440: １３２人目の素数さん [sage] 2017/04/04(火) 19:56:44.97 ID:D6+98tjJ

計算過程を書いていませんでしたかね。
>>126と同様に、「一方の中身は他方の２倍」という要請を満たす金額の対
{N,2N} の出現確率を p(N) と置きます。

開けた封筒が10000で、かつ、もうひとつの封筒が5000である確率は、
ふたつの封筒が{5000,10000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けた確率なので、
p(5000)*(1/2)と書けます。
開けた封筒が10000で、かつ、もうひとつの封筒が20000である確率のほうは、
ふたつの封筒が{10000,20000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けた確率なので、
p(10000)*(1/2)です。
ここで、選んだ封筒の中身がNである確率と2Nである確率がともに1/2であること
を使っていますね。

開けた封筒が10000という条件下に、もうひとつの封筒が5000である条件付き確率は、
Prob(もうひとつが5000|開けたのが10000)
=Prob(もうひとつが5000∧開けたのが10000)/Prob(開けたのが10000)です。
これが、ベイズの定理です。
開けた封筒が10000であるのは、
ふたつの封筒が{5000,10000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けたたか、
ふたつの封筒が{10000,20000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けたたか
のどちらかなので、
Prob(開けたのが10000)=p(5000)*(1/2)+p(1000)*(1/2) です。
結局、Prob(もうひとつが5000|開けたのが10000)
={p(5000)*(1/2)}/{p(5000)*(1/2)+p(1000)*(1/2)}
=p(5000)/{p(5000)+p(1000)} となります。
開けた封筒が10000という条件下に、もうひとつの封筒が20000である条件付き確率も、
同様に、Prob(もうひとつが20000|開けたのが10000)
=p(10000)/{p(5000)+p(1000)} と計算できます。

これが、>>102 >>126に出てきた式の導出です。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1489358280/440

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