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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 [無断転載禁止]©2ch.net (808ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/
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88: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/16(土) 15:44:29.37 ID:6gtR58FD >>87 つづき 発表会 4月に行われた校内の発表会では， 生徒はおろか，大人も彼らの発表に圧倒されました。 むしろ，生徒は彼らのすごさを分かっているので， 大変なことをやってのけたことを肌で感じていたかもしれません。 高校生どうしで議論できない研究は， 課題研究向きではないのではという意見もありました。 ですが，彼らが疑問に思ったことを，考え抜いて答えを出したことは， 称賛に値しますし，それだけで， 研究をした意義があります。 特に数学は，なにものからも自由であるべきです。 役に立つとか，誰かのためになる研究ではないはずです。 また，このような高度な研究には大学院生のような TA を つけるべきだという意見も同じ人からありました。 その意見を聞くと， 若手の数学者と対話する機会を設けてあげればよかったな とも思いますし， 私たち高校数学科教員のレベルを軽んじているとも取れます。 いずれにしても， 高校生は定理の再発見でもよいと考えています。 洗練された最先端の理論を学ぶよりも， 定理を発見する道のりを一歩一歩辿っていくほうが， 時間の使い方としてはいいようで， そこから理論化，問題解決法を身につけるようです。 なにより，自力で考え抜く姿勢をつけさせたいと思っています。 答えのあるものなら答えがネットに転がっています。 ただ，多くの人から正当な評価は早くから与えてあげればよかったと思います。 ですが，私は研究の方向性だけ指導したのですが， それは彼らのためになったと考えています。 大学の先生の研究指導に近いことをやらせていただき， 私自身も数学の知識や指導法など，たくさんのことを学びました。 （抜粋引用おわり） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/88
89: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/16(土) 15:49:57.09 ID:6gtR58FD >>86 これはどこの高校の話か分かりませんが、素人さんの参考にはなるでしょう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/89
90: 素人さん [] 2016/07/16(土) 17:08:50.42 ID:FF2Y9hRU >>86-89 サークルＫサンクス(笑 またヒマなときに読ませてもらう。 ところで私は今日の午前中に解説を書き上げてしまった。全部で36ページ。 午後に図書館からコックス「ガロアの理論（下）」を借りて来て、 第八節の参考になりそうな箇所だけパラパラと見てみたが、 結局何の参考にもならなかった。 ところでスレ主は私が前スレで挙げた質問をどう思うか。 第五節にガロアが挙げている （θ＋αθ1＋…）＾p という式はｐが素数でなくても成立するのか。 素数でなくても、この式の値が不変であることは確かめた。 問題は、この式の値が有理数になるかどうかである。 もし素数でないなら成立しないなら、 第七節の後半の議論は成立しないように思える。 ちなみにこの式の値は全体の群に適用したときは有理数になるが、 部分群に適用したときは有理数にはならない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/90
91: 素人さん [] 2016/07/16(土) 17:13:45.85 ID:FF2Y9hRU それから任意の二根で他の根が有理的に表せるということは、 私が最初に考えた方法でも通用することを確認した。 ただしそれがガロアが考えていたことと同じかどうかは不明である。 また三森氏の解説は、第七節に関しても一箇所間違いがあることを知った。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/91
92: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/16(土) 21:01:26.95 ID:6gtR58FD >>90-91 素人さん、どうも。スレ主です。 素人さんの突っ込みはいつも鋭いね Q1 ところでスレ主は私が前スレで挙げた質問をどう思うか。 第五節にガロアが挙げている （θ＋αθ1＋…）＾p という式はｐが素数でなくても成立するのか。 A1 １．よく数学で言われるところの、ｐは素数に限定しても一般性を失わないというのが答えだと思う ２．例えば、n=p1*p2と二つの素数p1とp2と二つの素数の積から成るとすると、nのベキ根はp1のベキ根とさらにそのp2のベキ根を取れば良いから ３．具体的には、aのベキ根を考えるとして、a^(1/n)=a^(1/(p1*p2))=a^((1/(p1)*(1/(p2)))=(a^((1/(p1)))^(1/(p2))という式変形だ ４．で、n=p1*p2で、（θ＋αθ1＋…）＾n として良いかだよね？ うーん、考えたことが無かったね。すぐに答えられないね。なにか不都合が起きるかだが・・ （n=p1*p2と素因数分解して適用する場合と、素因数分解しないでa^(1/n)でそのまま適用した場合で差があるかの問題だが・・。ガロア理論としては素因数分解するのが筋だが） Q2 もし素数でないなら成立しないなら、 第七節の後半の議論は成立しないように思える。 A2 その心配はないよ。なぜなら、nがもし素数でないならnをn=p1*p2などと素数に因数分解して、各p1,p2・・・に上記を適用すれば良いから あとは良いかな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/92
93: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/16(土) 21:04:32.53 ID:6gtR58FD >>92 訂正 ２．例えば、n=p1*p2と二つの素数p1とp2と二つの素数の積から成るとすると、nのベキ根はp1のベキ根とさらにそのp2のベキ根を取れば良いから ↓ ２．例えば、n=p1*p2と二つの素数の積から成るとすると、nのベキ根はp1のベキ根とさらにそのp2のベキ根を取れば良いから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/93
94: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/16(土) 21:10:43.77 ID:6gtR58FD 街灯の下で鍵を探す https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%97%E7%81%AF%E3%81%AE%E4%B8%8B%E3%81%A7%E9%8D%B5%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%81%99 抜粋 街灯の下で鍵を探す（がいとうのしたでかぎをさがす）は、古くはアラブに起源があるというたとえ話。多くの変種がある。 概要 ある公園の街灯の下で、何かを探している男がいた。そこに通りかかった人が、その男に「何を探しているのか」と尋ねた。 すると、その男は、「家の鍵を失くしたので探している」と言った。 通りかかりの人は、それを気の毒に思って、しばらく一緒に探したが、鍵は見つからなかった。 そこで、通りかかりの人は、男に「本当にここで鍵を失くしたのか」と訊いた。すると、男は、平然としてこう応えた。 「いや、鍵を失くしたのは、あっちの暗いほうなんですが、あそこは暗くて何も見えないから、光の当たっているこっちを探しているんです」 教訓 この譬え話は、さまざまな教訓として解釈されており、特に学問研究に関するものが多い。その場合、次の状態を揶揄するものと理解されている。 本当に重要なところはどこか分かっているが、そこは分析する方法がない。そこで、光が当っているところばかりが研究されている。 異なった解釈 野口悠紀雄は、「街灯の下で鍵を探す」という喩えを「分析できるところから研究すべきである」という意味で捉えている。野口によれば、物理学が進歩したのは、「街灯の下原則」に狙っていたからだという[4][5]。 こうなると、「街灯の下で鍵を探す」という喩えの原意が、まったく反対になっている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/94
95: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/16(土) 21:15:25.09 ID:6gtR58FD 本来問題になっているのは、可算無限個の確率変数をどう取り扱うべきかのはず そこに突然のように、開集合の話 果たして、”本当に重要なところはどこか分かっているが、そこは分析する方法がない。そこで、光が当っているところばかりが研究されている”の例にならないだろうか？ はたまた、”野口悠紀雄、「街灯の下で鍵を探す」という喩えを「分析できるところから研究すべきである」という意味で捉えて”良いものか（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/95
96: １３２人目の素数さん [sage] 2016/07/16(土) 22:27:44.48 ID:EHqXAG3C >>95 > 突然のように、開集合の話 その話は数列がとる値に数列の極限の値が含まれていなくても問題ないことをスレ主が理解していないことが 発端だったから別に話の流れとして突然でもないと思うが http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/96
97: 素人さん [] 2016/07/16(土) 23:09:18.85 ID:FF2Y9hRU >>92-93 スレ主の回答を見ると、 スレ主はおそらく第七節の後半の意味を考えたことはなく、 第七節に関する解説も読んだことがないのではないかと疑われる。 スレ主以外誰の反応もないところを見ると、 その他の連中も考えたことも解説を読んだこともないのではないか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/97
98: １３２人目の素数さん [sage] 2016/07/16(土) 23:18:24.03 ID:9aMDkwUK 現代数学の手法で解決出来る問題だけを解く。 ご都合主義はどんな学問にも存在する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/98
99: １３２人目の素数さん [sage] 2016/07/16(土) 23:38:52.78 ID:uTn+cmm2 >>86 >5次方程式に解の公式がないのは，有名な話ですが， 5次方程式にも開法で解けるものがあるのは， 論理が未熟な高校生にはあまり知られていません。 例えば，x^5?2=0 です。 > >ちなみに， この方程式のガロア群は 位数20 のフロベニウス群といわれるものです。 その方程式は前スレでもあがっていた２項方程式の特別な場合だね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/99
100: １３２人目の素数さん [] 2016/07/17(日) 03:32:40.85 ID:3XYxN6ur 週末なのに伸びないなw http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/100
101: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/17(日) 08:46:04.24 ID:ZVWBrROz >>65 補足 Periods Kontsevich and Zagier IHES 2001のPDFが落ちていたから、上げておく IHESのサイトに行けば公開されているかも知れないが、見つけた場所はUKだった ありがたい時代だね（＾＾； http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/ Andrew Ranicki’s Homepage School of Mathematics University of Edinburgh http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/ Papers http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/kontzagi.pdf Periods Kontsevich and Zagier IHES 2001 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/101
102: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/17(日) 08:52:50.13 ID:ZVWBrROz どうも。スレ主です。 素人さんへの回答の前に簡単なところから >>96 いやいや、突然という意味は、”本来問題になっているのは、可算無限個の確率変数をどう取り扱うべきかのはず”>>85 開集合とは、なんの脈絡もないように思う 従って、”「街灯の下で鍵を探す」という喩えの原意”通り>>94じゃないのかと 開集合をいくら論じたところで、”可算無限個の確率変数をどう取り扱うべきか”には繋がらないだろう？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/102
103: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/17(日) 09:01:20.29 ID:ZVWBrROz >>98 どうも。スレ主です。 >現代数学の手法で解決出来る問題だけを解く。 >ご都合主義はどんな学問にも存在する。 それは、野口悠紀雄流>>94でしょ で、￥さんは、ご都合主義の『Kolmogorovが近代確率論を成立させるに当たり、当時出来上がったばかりの測度論を使ってしまった』>>5という部分をそろそろ見直す時期じゃないかと そして、その問題意識は個人的には同感出来る部分がある。Kolmogorovの時代から百年近く経っているしね が、それはさすがにこのスレの役割じゃないだろうと思う やりたいならやれば良いとは思うが しかし、開集合をいくらいじっても答えは出ないだろう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/103
104: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/17(日) 09:34:10.27 ID:ZVWBrROz じゃ、素人さんへの回答 >>97 >スレ主はおそらく第七節の後半の意味を考えたことはなく、 >第七節に関する解説も読んだことがないのではないかと疑われる。 いや、第六節からは素数次の既約方程式の話だから、次数pは素数に限定して考えて良い だから、素数以外の場合を考えたことがなかったというだけのことです で宿題に戻ると >>92 > ４．で、n=p1*p2で、（θ＋αθ1＋…）＾n として良いかだよね？ うーん、考えたことが無かったね。すぐに答えられないね。なにか不都合が起きるかだが・・ > （n=p1*p2と素因数分解して適用する場合と、素因数分解しないでa^(1/n)でそのまま適用した場合で差があるかの問題だが・・。ガロア理論としては素因数分解するのが筋だが） 矢ヶ部のP387-389にあった https://www.amazon.co.jp/dp/4768704530/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1468714368&sr=1-1 数III方式 ガロアの理論 単行本（ソフトカバー） ? 2016/2/25 矢ヶ部巌 (著) 要するに、n次方程式が代数的に解けるならば、ラグランジュの分解式のn乗は、方程式の係数a1,・・・anとζ（1のn乗根で原始根）とから加減乗除で表される。 逆に、ラグランジュの分解式がそのような性質を持てば、ベキ根で解けるから、n次方程式が代数的に解ける つまり、n次方程式が代数的に解けるを前提として、 ”第五節にガロアが挙げている （θ＋αθ1＋…）＾p という式はｐが素数でなくても”有効だ （いわずもがなだが、（θ＋αθ1＋…）＾p という式はラグランジュの分解式） （「成立」>>92の意味が不明なので、「有効」（代数的解法に使える）とした） ここで、nは素数には限定されない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/104
105: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/17(日) 10:22:02.28 ID:ZVWBrROz >>104 つづき ”n次方程式が代数的に解ける”と、”ラグランジュの分解式のn乗は、方程式の係数a1,・・・anとζ（1のn乗根で原始根）とから加減乗除で表される”は、等価だったんだ。 あまり意識していなかったが、aha!だね それで、素数以外の場合を考えたことがないというのも、普通ガロア第一論文を読むときは、多少現代数学のガロア理論を学んでからなんだ で、可解群というのがあってね 「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」は、良く出てくる表現で、”素数限定”は当たり前と思って、それ以外を考えたことがなかったんだ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4 可解群 有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある。 有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。 ジョルダン・ヘルダーの定理より、一つの組成列が上記の性質を持つ場合、すべての組成列は同様に上記の性質を持つことが保証される。 多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。無限群の場合は必ずしも同値ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/105
106: １３２人目の素数さん [sage] 2016/07/17(日) 10:43:21.37 ID:BI9i1gAR >>102 > 開集合をいくら論じたところで、”可算無限個の確率変数をどう取り扱うべきか”には繋がらないだろう？ 前々スレ参照。以下スレ主の発言です >>264 > いや、普通に考えると、「任意の有限部分族が独立」から、”「常に無限個の組」”が証明できるんじゃないかい？ >>579 > そして、時枝>>7の「(2)有限の極限として間接に扱う，・・の方針が可能である.」という主張は、単純には成立しないと思う。 > ”有限の極限として間接に扱う”は、即ち帰納法に他ならないから > だから、時枝も間違ったんだ。 「帰納法では示せません。位相空間に反例が存在しますよ」と有志が教えてくださったんですな 話の筋を忘れているようなのでお伝えしました あともう1つ。スレ主は （１）無限を直接扱うことと、（２）n→∞の極限として扱うこと をきちんと区別してますか？ 時枝の記事ははっきり区別している 記事にそう書いてある 時枝が問題視しているのは（２）の成立ではなく（１）だ スレ主はそれを区別せず、（２）の成立をもって一方的に時枝を否定している （２）の成立など時枝にとっては分かりきった事実である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/106
107: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/17(日) 11:08:13.37 ID:ZVWBrROz >>32 戻る 時枝正先生、面白い経歴の人だね〜（＾＾； ちょっと長いが引用する http://kankyodou.blog.so-net.ne.jp/2015-10-30-1 「プロの数学者」になるには・・（時枝正ケンブリッジ大Trinity Hall 数学主任） 《熔融鐵鐵斎》只管読書：So-netブログ:2015-10-30 (抜粋) https://www.amazon.co.jp/dp/4535785929/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1468720003&sr=1-1&keywords=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%BE%E3%81%AA%E3%81%B3%E3%81%AF%E3%81%98%E3%82%81%E3%80%80%E7%AC%AC%EF%BC%93%E9%9B%86 数学まなびはじめ 第３集 日本評論社 2015/07/23 上記イメージ書籍の13人中、特異中特異な経歴の持ち主は、時枝正先生かもしれない。「プロの数学者」を志した経緯がそもそもフツウでない。「ひょんな」キッカケで数学の道を歩みだすのだが、フツウそんなことで、「プロの数学者」になぞなれるものではない。 しかし、「プロの数学者」になってしまった。だから、時枝先生は、フツウでない。フツウでないから、フツウの人間には、フツウでない先生の経験は参考にならないかもしれない。それでも、参考になりそうなところを以下に抜き書きしてみる。「プロの数学者」の説く、プロになる秘訣？をまとめておく。 （以下、上記書籍『数学まなびはじめ 第３集』から引用） 遠山啓の算数教材をやらされるのがいやで、おそれおおくも「とおやまのばか」と表紙に落書きし、「遠山先生はばかじゃない」と叱られた。・・・ p190 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/107
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