[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 [無断転載禁止]©2ch.net (808ﾚｽ)
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670(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)09:49 ID:AONA9sxo(13/47) AAS
>>669 つづき
4 まとめ−いま数理物理学になにが起きているのか
この章では、前章で述べた「ソリトンの数理」をその一部として含む数理物理学の世界でいまなにが起きて
いるのかを簡単に紹介して、本講義のまとめに代えたいと思う。専門用語が説明無しに出て来るけれども、お
話と思って聞いてもらいたい。若い世代に多いといわれる「やることはもう残っていないのではないか」とい
う考えが誤解であって、たくさんのおもしろい問題が解決を待っていることを感得して頂ければ、充分である。
前章で紹介した「ソリトン物理学」における非線形発展方程式（サイン・ゴルドン方程式）の厳密解は、数
理物理学における最近の成果のひとつである。ソリトン方程式が厳密に解くことができるのには、理由があ
る。この1960 年代後半に始まった「ソリトン方程式の数理の解明」をきっかけとして、いま数理物理学の世
界では、物理学と数学のいろいろな分野にわたってお互いに密接に関係しあいながら、ひとつの大きな「数
省11
671(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)09:54 ID:AONA9sxo(14/47) AAS
>>668-670 補足
”若い世代に多いといわれる「やることはもう残っていないのではないか」という考えが誤解であって、たくさんのおもしろい問題が解決を待っていることを感得して頂ければ、充分である。”
と、”\さん「そういう風に考えなければ、数学はこのまま死んでしまう。ソレはアカン。」>>585”という話
同じなんだよね
672(1): 2016/08/11(木)10:14 ID:BG5Qksh1(1/13) AAS
>>671
\の「そういう風に考えなければ、数学はこのまま死んでしまう。ソレはアカン。」
というセリフはスレ主の間違いに気付かなかった私に対していったセリフだ。
だが、スレ主は間違いをしていたから、このセリフは今となっては意味はない。
このセリフの意味は、よい問題を見つけて解いていかないと数学は進歩しない、
ということにある。非可測な集合上の確率論を確立しようとすると連続体仮説の
問題が絡む。ちなみに、コンピュータのアルゴリズムの話をしていたが、
そのアルゴリズムは、特許とかの問題に進展することがあることは分かっているか。
673(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)10:16 ID:AONA9sxo(15/47) AAS
>>670 補足
「無限次元の確率論」が分からんが、下記
外部ﾘﾝｸ[php]:www.shinshu-u.ac.jp
無限次元現象の解明を目指して 現在の研究テーマ：無限次元空間上の発散定理 信州大学 理学部 乙部 厳己 数学科
現在までの歴史上、数学のみならず諸科学まで含めて最も大きな影響を及ぼした定理は何かといえば、おそらく間違いなく微積分の基本定理だといえると思います。
微積分の基本定理とは（1 次元のときに）微分と積分がお互いに逆の演算であることを主張するものです。
これは領域の内部全体での関数の値の和が、その原始関数の境界での値の差に等しいことを主張し、関数の形を適切に与えることで領域の内部における情報を外周部だけで理解できることを示しています。
この事実は多次元でも一般に成り立っていることを示したのがガウスによる発散定理です。
このような関係は解析学の最も基礎をなすものであり、たとえば関数概念そのものを拡張するにはいくつかの方法が知られています（総称して超関数と呼びます）が、いずれにせよ根底にはこの事実があるといってよいと思います。
もちろんそれだけではなく、ベクトル解析など多くの応用の基礎となると同時に現代幾何学の基礎の一つといってもよいと思います。例えるならば、うまく関数を設置してから家の周りを一周すれば、知りたかった家の中の状況がわかるということを述べているわけです。
省3
674(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)10:20 ID:AONA9sxo(16/47) AAS
>>673 つづき
しかし1970 年代の末頃から、確率論のある種の研究の中でこれら両者はついに融合点を見いだし、測度論に基づいた無限次元空間上の完全な微積分の理論が完成します。
この理論は通常、この方向への最初の突破口を開いた数学者の名前をとってマリアヴァン解析と呼ばれています。
ところが、この理論は空間全体での部分積分の成立を示してはいますが、有限次元の場合とは異なり発散定理のような領域についてはなかなか困難がありました。
有限次元の場合には有界な集合上でまず理論が作られ、むしろ空間全体へ議論を拡張するときに困難があったのとは全く対照的です。
これは（ベクトルの大きさが自然に考えられる）自然な空間においては、有界閉集合がコンパクトと呼ばれるよい集合になる必要十分条件が有限次元であることであるということからくることですが、この事実が発散定理の定式化を極端に難しくします。
球に相当するような滑らかな領域ではすでに発散定理は定式化できていましたが、長方形のような形 に相当する角のある領域についても発散定理をマリアヴァン解析の枠組みで完全に定式化することを目指しています。
研究領域：確率解析
20 世紀初頭にアインシュタインによってブラウン運動が理論的に取り扱われると、数学的な対象としてブラウン運動を定式化することも行われました。
それは[0, 1] 区間から連続関数全体が作る無限次元空間へのよい写像をフーリエ解析の手法で構成し、その空間に確率測度を導入するという方法であり、現在ではその測度はウィナー測度と呼ばれています。
省3
675(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)10:24 ID:AONA9sxo(17/47) AAS
>>674 つづき
1942 年、当時内閣統計局におられた伊藤清先生は「Markoff 過程ヲ定メル微分方程式」という革命的な論文を発表され、そこでは現在に至っても未だ神秘さを失わないブラウン運動の軌道に関する積分（伊藤積分）の方法と同時に、確率微分方程式が定義・定式化され、もしその方程式がただ1 つの解を持つならば拡散過程であることが示されていました。
また、その中には後年伊藤公式と呼ばれるようになる伊藤過程を伊藤積分と通常の積分とに分解する公式もすでに現れていました。
しかしこの時点では係数に滑らかさを要請せざるを得ないなどの弱点もありました。
その後解を持つための条件は1950 年代後半ころに丸山議四郎・スコロホッドらによって完全に弱められました。
しかし、拡散過程の構成に関しては、田 中洋・スコロホッドによる解析的研究でも完全な解決はできませんでした。
この問題は1960 年代後半にストゥルックとヴァラダンがこれら両者を統合する形で完全に解決しました。
ただし伊藤の一意性と呼ばれる概念との関係は、1970 年代初頭に渡辺信三・山田俊雄らによる確率微分方程式論の完成まで待つ必要がありました。
拡散過程は実はある種の微分作用素や偏微分方程式の背後での動きを捉えている（全体の「平均」をとるとそれらが現れる）のですが、関数解析的手法でしばしば必要になる楕円性という条件が一切仮定されていません。
これは大きな利点ですが、その分布や平均といった偏微分方程式の解が微分できるかどうかという問題は確率論の中では長く未解決のまま残されていました。
省2
676(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)10:26 ID:AONA9sxo(18/47) AAS
>>675 つづき
ただし、確率微分方程式の解にマリアヴァン解析が適用できるのは、その解が強い解と呼ばれる場合、つまり解が雑音源から完全に再現できる場合に限られます。
田中洋によって最初に発見された弱い解、つまり解のランダム性が雑音源のランダム性を上回る場合にはこのようなことができません。
これら両者の違いは偏微分方程式で捉えられる構造では消えてしまうことがわかっていますが確率論としては重大な問題です。
さらに、この弱い解・強い解の概念は数理ファイナンスと呼ばれる市場のモデルを構築して解析する際にも重大な問題となります。
これは近年チレルソンによって導入されたノイズの概念をきっかけに、作用素環の理論などとも深い関わりを持って現在も活発に考えられている問題です。
一方現代では確率微分方程式に始まる伊藤解析、あるいはマリアヴァン解析まで込めて確率解析の数学的基礎理論はおおむね完成したと見なされており、数理ファイナンスと呼ばれる金融等に現れる問題や、厳密統計力学・場の量子論といった（これらは確率論創世期からの大きな問題意識でしたが）数理物理の諸問題が大きな関心です。
特に統計力学のそもそもの問題意識は、たとえば熱が伝わったり水が流れたりするような「巨視的」現象を、それらはすべて気体や水の「微視的」分子が運動することによって引き起こされるということを示し、何が生じているかを明らかにすることでした。
20 世紀末頃からようやくこうした問題を数学的に厳密な意味で取り扱うことができるようになり、流体力学極限と呼ばれています。
また、近年では場の理論の一種である共形場理論と呼ばれるものを確率論の枠組みで取り扱うことができるようになりつつあり、大変注目を集めているとともに、活発な研究が行われています。
省2
677(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)10:35 ID:AONA9sxo(19/47) AAS
>>673 「無限次元の確率論」補足
会田茂樹先生は、以前にも紹介したと思うが
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.tohoku.ac.jp
確率論と無限次元解析 会田茂樹
ある状態空間(典型的なのは実数の集合)の中を 時間とともにランダムに変動する量は、数学的には 確率過程ととらえられ、解析されます。
ここでは、 時間とともに連続的に変動する量を考えましょう。
そのとき、確率過程を考えることと 非負の実数全体から状態空間への連続写像全体の 空間上に確率測度を与えることは同値になります。
その代表的なものが、ブラウン運動であり、 Wiener測度です。 他の連続な確率過程もブラウン運動をインプットとする 確率微分方程式を解いて、得られることが多いと言えます。
実際、解析学の多くの問題が2階楕円型微分作用素に 関係していますが、その生成する拡散半群の 確率論的表示に確率微分方程式の 解が用いられます。
このようにして、応用に現れる多くの ランダムな量が確率微分方程式の解やその 関数で表される ことがわかり、ブラウン運動の汎関数の 解析を行うことの重要性が見てとれます。
省7
678: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)10:38 ID:AONA9sxo(20/47) AAS
>>677 つづき
これまで、述べてきたのは、有限次元空間上の 問題(例えば有限次元空間上の拡散半群の問題) を無限次元解析を通して研究しようという ことですが、無限次元空間上で自然に現れる 問題にも関心を持っており、現在の私の研究の中心は こちらにあると言えます。
例えば、場の量子論 は無限個の調和振動子が相互作用して いる系の量子化にかかわるものと言えますが、 そのハミルトニアンは必然的に無限次元空間上の 微分作用素(もっと正確には シュワルツ超関数の空間にガウス測度が 与えられた確率空間上のシュレーディンガー型作用素)となります。
また、物理的な意味は薄れますが、 リーマン多様体上の始点と終点が一致しているループの空間 の上で関数に作用するOrnstein-Uhlenbeck作用素や 微分形式に作用するHodge-Kodaira型の 作用素を考えるのは幾何学的に興味深いことです。
略
1982年にEdward Witten教授がモース不等式 をそのモース関数で変形して得られる 超対称ハミルトニアン(Witten Laplacian) のスペクトルの準古典的挙動から導いたのは、 準古典極限の顕著な応用と言えるでしょう。
今考えているのは、その無限次元版 なわけで、ループ空間などの幾何学的な 対象のときは、道のエネルギーがモース関数に 相当します。
この場合でもモース不等式が準古典的 アプローチで証明できるのでしょうか? 最近、コンパクトリー群上のpinned path spaceで少し結果が 出始めましたが、遠方での評価が得られず、まだ解決には至っていません。
また、 最近、場の量子論の典型的モデルである有限体積での$P(\phi)_2$型ハミルトニアン (現在の所、4次の多項式で、体積の大きさに制限が着いたものに限る) の最小固有値の準古典極限を決定することができました。
さらに第一固有値と第二固有値のギャップの漸近挙動 がAgmon距離により決定されるのか、超対称ハミルトニアンの場合の研究など に引き続き取り組んでいます。
省2
679(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)10:49 ID:AONA9sxo(21/47) AAS
>>672
どうも。スレ主です。
粘着しているのは、Tさんかね？
”非可測な集合上の確率論”をやりたければ、大学へ行きなよ
このスレでは無理
あるいは、自分でスレ立てて、仲間を集めなよ
ともかく、２ちゃんねるの外で仲間を募って、自分でスレ立ててやんな・・・て、・・・出来ないんだろう・・・
>>673-676に信州大学 理学部 乙部 厳己先生を引用したけど、すでにいろんな試みがあるよ
少し系統的に勉強することをお薦めします。
680(2): 2016/08/11(木)10:57 ID:BG5Qksh1(2/13) AAS
>>679
おっちゃんです。上から目線のスレ主か。
スレ主の考え方が間違っているに気付いた。時枝の考え方は正しい。
ところで、正規部分群のことコピペしていたが、その定義は覚えたか？
681(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)10:59 ID:AONA9sxo(22/47) AAS
>>662-663
前スレから引用。これは変わっていない
（逆に、”確率論の専門家”のご意見は、>>4時枝記事は数学セミナーに書く記事としては不成立）
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20
333 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/01(金) 22:38:42.98 ID:HfL8/83j [6/10]
>>33１つづき
追伸２
時枝記事について、私が時枝解法の成立を認めるとしたら、その条件は、下記
１．arXivでも正規の論文でも良いが、大学以上の身分の確認できる教員から、時枝解法なり同等のルーマニア解法について、肯定的な論文が投稿されたとき
省6
682: 2016/08/11(木)10:59 ID:BG5Qksh1(3/13) AAS
>>679
>>680の訂正：
間違っているに気付いた。 → 間違っている「こと」に気付いた。
683: 2016/08/11(木)11:05 ID:BG5Qksh1(4/13) AAS
>>681
スレ主は記事の内容とは違うような問題を設定して、ここで出して議論させていた。
確率列を使うと時枝の考え方の正しさが説明出来る。
684: 2016/08/11(木)11:15 ID:aDhyhZQL(3/10) AAS
>>681
思考停止宣言ｗ
685(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)11:23 ID:AONA9sxo(23/47) AAS
>>680
どうも。スレ主です。
なんだ、おっちゃんか！
お元気そうでなにより
>スレ主の考え方が間違っているに気付いた。時枝の考え方は正しい。
安心したよ（＾＾；
出会いのときからだよね、その言葉（＾＾；
で、最後にどんでん返し
最初問題を出してくれたんだ
で、その問題を解いた
省24
686(1): 2016/08/11(木)11:33 ID:BG5Qksh1(5/13) AAS
>>685
これね。確かに、直観的に成り立つと思って、自分で解いて確かめる前に出したよ。
スレ主の正規部分群の定義の覚え方が怪しいことから始まったよな。
687(1): 2016/08/11(木)11:37 ID:aDhyhZQL(4/10) AAS
×スレ主の正規部分群の定義の覚え方が怪しい
○スレ主の正規部分群の定義の覚え方が間違ってる
688(1): 2016/08/11(木)11:49 ID:j8ttIyO2(3/15) AAS
>>685
いきなり昔話かよｗ
お前の過去はこうだった、だから今もこうだろうっていう、っていう良くある罵り。
レベルが低すぎ。幼稚園レベル
689(1): 2016/08/11(木)11:50 ID:aDhyhZQL(5/10) AAS
正規部分群を間違えて覚えてたのはガロアスレの主として致命傷。
そこからだよな、コピペ馬鹿のメッキが剥がれ始めたのは。
そして一年生の教科書すら勉強してないこともバレて今に至る。
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