くだらねぇ問題はここへ書け (836ﾚｽ)
くだらねぇ問題はここへ書け http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/
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661: １３２人目の素数さん [sage] 2024/02/24(土) 16:31:04.39 ID:8e2wHLHp [第1段]：2^{√2} が代数的数であるとする a＝2^{√2} とおく 仮定から、aは実数であって、aは実数の代数的数である a＝2^{√2} とおいているから log_|a|＝√2×log|2| である よって a＝2^{√2} から 2^{√2}＝e^{√2×log|2|} が成り立つ [第2段]：ところで、1＜√2＜3/2 だから 2^{√2}＜2^{3/2} である また e＞2 から log|2|＜1 であって、4/3＜√2＜3/2 だから log|2|＜4/3＜√2×log|2|＜3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}＞e^{4/3} である よって、2^{√2}＞e^{4/3} を得る [第3段]：故に、log_2|e^{4/3}|＜√2 から log_2|e|＜3/4×√2 であって、 e＜2^{3/4×√2} から 1＜3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}＜2 である よって、e＜3 から 3^{(2√2)/3}＜2 であって、3^{2√2}＜8 を得る [第4段]：しかし、3^{2√2}＞3^2＝9 だから、3^{2√2}＜8 が得られたことは 3^{2√2}＞8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} が超越数ではないとしたことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は超越数である eの近似値や 2＜e＜3 などの大小関係は高校数学の範囲の筈だから、 超越数の定義が分かっていれば 2^{√2} の超越性も 高校数学の範囲で示せる気がしないでもないんだが… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/661
663: １３２人目の素数さん [sage] 2024/02/24(土) 18:03:01.67 ID:8e2wHLHp [第3段]：故に、log_2|e^{4/3}|＜√2 から log_2|e|＜3/4×√2 であって、 e＜2^{3/4×√2} から 1＜3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}＜2 である よって、e^{2√2}＜8 を得る [第4段]：しかし、e^{√2}＞8^{1/2}＝2√2 だから e^{2√2}＞8 である 故に、e^{2√2}＜8 が得られたことは e^{2√2}＞8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} が超越数ではないとしたことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は超越数である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/663
664: １３２人目の素数さん [sage] 2024/02/24(土) 18:04:34.49 ID:8e2wHLHp >>662 間違えたところは訂正した http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/664
666: １３２人目の素数さん [sage] 2024/02/24(土) 18:35:42.79 ID:8e2wHLHp >>665 >代数的数を超越数に書き換えれば超越数ではない「証明」になる ゲルフォント・シュナイダーの定理から、そうはならない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/666
667: １３２人目の素数さん [sage] 2024/02/24(土) 18:49:01.45 ID:8e2wHLHp 体Q上 a＝2^√2 のn次の最小多項式を考えても、 その次数が1であることは明らかだから、 結局はaの無理性の証明に帰着する http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/667
669: １３２人目の素数さん [sage] 2024/02/24(土) 19:20:32.42 ID:8e2wHLHp >>668 ゲルフォント・シュナイダーの定理に従えば、そうはならないという事実がある 2^√2 の無理性の証明を高校数学の範囲で証明してもつまらない 2^√2 を互いに素な整数を使って有理数で表して議論していって矛盾を導く可能性が高い http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/669
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