[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第６章 (995ﾚｽ)
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11(3): 2012/04/02(月)01:54 AAS
AA省

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15: 2012/04/04(水)06:35 AAS
>>11-14
不等式の左辺の分母の1を(abc)^(1/3)に置き換えたり、
あんなことやこんなことをするんだろうと思うけど、できぬ・・・

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202: 2012/07/07(土)04:30 AAS
>>11

xyz=1 だから、いつものように x=b/c, y=c/a, z=a/b (a,b,c>0)とおく。

　D = (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc ≧ 8abc,

　{(左辺) - (3/4)}･D^2
　　= {(a+b)b(c+a)}^2 + {(a+b)(b+c)c}^2 + {a(b+c)(c+a)}^2 - (3/4)D^2
　　= (1/4)D(D-8abc) + (AAB+BBC+CCA-3ABC)
　　≧ 0,

ここに、A=a^2, B=b^2, C=c^2, D=(a+b)(b+c)(c+a)

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203: 2012/07/07(土)04:56 AAS
>>13

　{x/(1+x)}^2 = X,　{y/(1+y)}^2 = Y,　{z/(1+z)}^2 = Z　とおく。
これらは x, y, z と同順序である。

r≧0 のとき、チェビシェフにより
　(x^r)X + (y^r)Y + (z^r)Z ≧ (1/3)(x^r + y^r + z^r)(X+Y+Z)
　≧ (xyz)^(r/3)･(X＋Y＋Z)　(← 相加･相乗平均)
　=　X+Y+Z,　　　　(← xyz=1)
　= （>>11 の左辺）

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