杉浦光夫・解析入門?・?

[過去ﾛｸﾞ] 杉浦光夫・解析入門?・? (1002ﾚｽ)
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805: 2018/08/09(木)11:56 ID:sil3OCgs(2/3) AA×

805:  [] 2018/08/09(木) 11:56:37.80 ID:sil3OCgs

杉浦光夫さんは、オイラーの公式を導くのに、

「（詳しく言えば定理2.3、命題I.5.3,2)を用いた）」と書いています。

ということは杉浦さんの頭の中は以下のようになっていたことになります：

e^(i*z) = cos(z) + i*sin(z)

e^(i*z)

1 + i/1! * z + i^2/2! * z^2 + i^3/3! * z^3 + i^4/4! * z^4 + i^5/5! * z^5 + i^6/6! * z^6 + i^7/7! * z^7 + …

1 + i/1! * z + -1/2! * z^2 + -i/3! * z^3 + 1/4! * z^4 + i/5! * z^5 + -1/6! * z^6 + -i/7! * z^7 + …

= （定理2.3）

(1 + 0 * z + -1/2! * z^2 + 0 * z^3 + 1/4! * z^4 + 0 * z^5 + -1/6! * z^6 + 0 * z^7 + …)

(0 + i/1! * z + 0 * z^2 + -i/3! * z^3 + 0 * z^4 + i/5! * z^5 + 0 * z^6 + -i/7! * z^7 + …)

= （命題I.5.3,2)）

(1 + -1/2! * z^2 + 1/4! * z^4 + -1/6! * z^6 + …)

(i/1! * z + -i/3! * z^3 + i/5! * z^5 + -i/7! * z^7 + …)

(1 + -1/2! * z^2 + 1/4! * z^4 + -1/6! * z^6 + …)

i*(1/1! * z + -1/3! * z^3 + 1/5! * z^5 + -1/7! * z^7 + …)

cos(z) + i*sin(z)

つまり、ここでの杉浦さんは、

Σ_{n = 0}^{∞} {(-1)^n / (2*n)!} * z^(2*n)

と書いたとき、これを

S_m := Σ_{n = 0}^{m} {(-1)^n / (2*n)!} * z^(2*n)

lim S_m を表わすものと考えています。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1331915665/805