[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
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665(1): 2008/11/27(木)23:22 AA×
>>661


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665: [sage] 2008/11/27(木) 23:22:39 >>661 [751] 微分法を使う。 　g(t) = log(sin(e^t))　とおくと 　g '(t) = (e^t)/tan(e^t) 　は単調減少(*)　 　g "(t) = −(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0, ∴ f は上に凸。 　log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2} (*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0, 　　より、x/tan(x) は単調減少。 [763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。 sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1−(x/nπ)^2}, 　{1−(x/nπ)^2}{1−1/(nπx)^2} = {1−1/(nπ)^2}^2 −(1/nπ)^2 (x−1/x)^2 ≦ {1−1/(nπ)^2}^2, 　等号成立は x=1 のとき, ∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/665
微分法を使う とおくと は単調減少 は上に凸 与式 より は単調減少 無限乗積表示オイラー積表示を使う 等号成立は のとき 与式

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