[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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874(7): 2006/12/09(土)07:17 AAS
AA省

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875(1): KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2006/12/09(土)09:45 AAS
talk:>>874 貴様反乱軍の一味だな！

ちなみに、私は中立だ。

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882: 2006/12/10(日)10:58 AAS
>>874

[469]. Solve for t in terms of a,b in the equation
　　√(t^2 -at +a^2) + √(t^2 -bt +b^2) = √(a^2 +ab +b^2).
　　where 0 < a, b.

(略解)　根号を開いていくと　t = (a+b)/(ab).

[B.3944]. Sketch in the cartesian plane the region consisting of the points (x,y) such that
　　x/y + 1/x + y ≧ y/x + 1/y + x.

(略解) 通分すると (左辺) - (右辺) = (x-1)(y-1)(y-x)/(xy) ≧ 0.
省11

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883(1): 2006/12/10(日)11:05 AAS
>>874

[K.100]. Solve the following equation on the set of real numbers:
　x^2 +6 +1/(x^2) = 4x + 4/x.

(略解)　(左辺) -(右辺) = (x+1)^4 /(x^2).
　複素数まで考えても x=-1 だけ……ort.

(訂正)
[469]. の解は t=ab/(a+b)　ですた。ｽﾏｿ.

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887(1): 2006/12/11(月)02:32 AAS
>>874
たまには 等式も…

[460]. Given two natural numbers x and y for which 3x^2 +x = 4y^2 +y,
　prove that their positive difference is a perfect square.
　Determine a non-trivial solution of this equation.
　(MOCP/2006/prob_oct)

(略解)
　x-y=d とおくと d>0.　与式より,
　x = 4d +√{d(1+12d)}, y = 3d +√{d(1+12d)}.
　d と 1+12d は互いに素だから、共に平方数.
省15

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888: 2006/12/12(火)01:47 AAS
>>874

[462]. For any positive real numbers a,b,c,d, establish the inequality
　　√{a/(b+c)} + √{b/(c+d)} + √{c/(d+a)} + √{d/(a+b)} > 2.
　　（MOCP/2006/prob_oct)

(略解)
　√a =A, √b =B, √c =C, √d =D とおけば
　(左辺) > A/(B+C) + B/(C+D) + C/(D+A) + D/(A+B).　　　(← √(x+y) < √x + √y)
　に帰着する（Shapiroの巡回不等式） 　>>284

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889(1): 2006/12/12(火)01:51 AAS
>>874

〔Shapiroの巡回不等式〕　>>284
　n≦13 と F = �納i=1,n] A_i /{A_(i+1) + A_(i+2)},　A_(n+1)=A_1, A_(n+2)=A_2 に対して
　F ≦ n/2.
(例証)
　F * �納k=1,n] A_k*{A_(k+1) + A_(k+2)} ≦ (A_1 + A_2 + … + A_n)^2　　(←コーシー)
　�� ≡ (A_1 + A_2 + … + A_n)^2 - (n/2)�納k=1,n] A_k*{A_(k+1) + A_(k+2)} ≧0 を示せばよい。
　n=3,5 のとき �� = (1/(n-1))�納1≦i<j≦n] (A_i -A_j)^2 ≧0,
　n=4 のとき �� = (A_1 -A_3)^2 + (A_2 -A_4)^2 ≧0,
　n=6 のとき �� = (1/2)�納1≦i<j≦3] {A_i +A_(i+3) -A_j -A_(j+3)}^2 ≧0.

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890(1): 2006/12/13(水)22:25 AAS
>>874
　>889 の補足

　{A_i}の相関函数を G_k = Σ[i=1,n] A_i･A_(i+k) とおけば、G_(n-k) = G_k,
　�� = G_0 + G_1 + … + G_(n-1) -(n/2)(G_1 + G_2).
　ただし A_(n+i) = A_i (巡回的)とした。

　n=3 のとき �� = G_0 - G_1 = (1/2)Σ[i=1,3] {A_i -A_(i+1)}^2 ≧0,
　n=4 のとき �� = G_0 - G_2 = (A_1 -A_3)^2 + (A_2 -A_4)^2 ≧0,
　n=5 のとき �� = G_0 - (G_1 + G_2)/2 = (1/4)Σ[i<j] (A_i -A_j)^2 ≧0,
　n=6 のとき �� = G_0 - G_1 - G_2 + G_3 = (1/2)�納i=1,3] {A_i - A_(i+1) + A_(i+3) - A_(i+4)}^2 ≧0,

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