[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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834(3): 2006/09/18(月)18:42 AAS
a,b,c>0 とするとき、次の不等式が成り立つことを示せ
　　a^3/(a^2+ab+b^2) + b^3/(b^2+bc+c^2) +c^3/(c^2+ca+a^2) ≧ (a+b+c)/3

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835(1): 2006/09/19(火)10:11 AAS
>>834
(左辺)-(右辺)を通分すると，
(2a^5b^2 + a^4b^3 + a^3b^4 + 2a^2b^5 + 2a^5bc - a^4b^2c - 2a^3b^3c - a^2b^4c +
2ab^5c + 2a^5c^2 - a^4bc^2 - 4a^3b^2c^2 - 4a^2b^3c^2 - ab^4c^2 + 2b^5c^2 + a^4c^3
- 2a^3bc^3 - 4a^2b^2c^3 - 2ab^3c^3 + b^4c^3 + a^3c^4 - a^2bc^4 - ab^2c^4
+ b^3c^4 + 2a^2c^5 + 2abc^5 + 2b^2c^5 ) / (3(a^2 + ab + b^2)(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bc + c^2))

この分子は，
2Σa^5b^2 - 2Σa^4b^2c^2 + Σa^4b^3 - Σa^4b^2c + Σa^5bc - Σa^3b^3c
と書ける。ただし，Σは(a,b,c)の全ての置換(6つ)に関する和を表す。
Muieheadの不等式より，
省4

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836: 834 2006/09/19(火)10:15 AAS
>>834
MuieheadじゃなくてMuirhead

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839: 2006/09/21(木)12:40 AAS
>>834
ムーアヘッド使わなくても。
a^2+ab+b^2≧3abだから、
(左辺第１項)=a-ab(a+b)/(a^2+ab+b^2)≧a-(a+b)/3
この式をcyclicにまわして足す。

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