[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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620(4): 2006/02/11(土)22:10 AAS
２００６年本選
５．任意の正の実数x1,x2,x3,y1,y2,y3,z1,z2,z3に対して不等式

　(x1^3+x2^3+x3^3+1)(y1^3+y2^3+y3^3+1)(z1^3+z2^3+z3^3+1)≧Ａ(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)

　　が常に成り立つような実数Ａの最大値を求めよ。
　　またＡをそのようにとるとき、等号が成立する条件を求めよ。

数学オリンピックスレより
2chｽﾚ:math

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621: 2006/02/12(日)01:08 AAS
>>620
今年も数ヲリ不等式ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!

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623: 2006/02/14(火)21:05 AAS
>620
　A=3/4, x = y = z = (1/6)^(1/3) のとき
かな?

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625(2): 2006/02/28(火)22:36 AAS
>>620
(略解)
　f(v1,v2,v3) = v1^3 + v2^3 + v3^3 +1 とおくと、
　Ｆ(ｘ,ｙ,ｚ) = f(x1,x2,x3)f(y1,y2,y3)f(z1,z2,z3) - Ａ(x1+x2+x3)(y1+y2+y3)(z1+z2+z3),
変数が9つもあると大変…
　∂Ｆ/∂x1 = (3x1^2)f(ｙ)f(ｚ) - Ａ(s2･s3) =0
　∂Ｆ/∂y1 = f(ｘ)(3y1^2)f(ｚ) - Ａ(s2･s3) =0
　∂Ｆ/∂z1 = f(ｘ)f(ｙ)(3z1^2) - Ａ(s2･s3) =0
等から
　xi = λ√{f(ｘ)/si},　ｘ=(x1,x2,x3)
省12

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626(1): 625 2006/02/28(火)22:59 AAS
>>620
[625]の続き
3変数の対称式と来れば …… x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおく(基本対称式)。
Ｆ~(x,y,z) = (3x^3 +1)(3y^3 +1)(3z^3 +1) -Ａ(x+y+z)^3
　= 27(xyz)^3 + 9{(xy)^3+(yz)^3+(zx)^3} + 3(x^3+y^3+z^3) +1 -Ａ(x+y+z)^3
　= 27u^3 + 9{3u^2 + t(t^2-3su)} + 3{3u + s(s^2-3t)} +1 -Ａs^3
　= (3u+1)^3 + 3s(s^2-3t) -Ａs^3 + D_1
　= (81/4)u + 3s(s^2-3t) -Ａs^3 + D_1 + D_2
　= (3/4 -Ａ)s^3 + D_1 + D_2 + D_3.
　≧ (3/4 -Ａ)(x+y+z)^3.
省6

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