[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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57(6): 05/02/01 12:05 AAS
【問題Ａ】正の数 a, b, c, d, e に対して、次の不等式を示せ。

(1) 4a+5b+6c ≧ 3√(ab) + 7√(bc) +5√(ca)

(2) a+b+c=1 のとき、
　(ab)^(5/4)+(bc)^(5/4)+(ca)^(5/4) < 1/4

(3) a^2+b^2+c^2=1 のとき、
　1/(a^2) +1/(b^2) +1/(c^2) ≧ 3 + 2(a^3+b^3+c^3)/(abc)

(4) a+b+c=3, abc=1 のとき、
　ab/[(a^2+b)(a+b^2)] + bc/[(b^2+c)(b+c^2)] + ca/[(c^2+a)(c+a^2)] ≦ 3/4
省14

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61(2): 05/02/02 14:19 AAS
>57
（問題Ａ）
(1) 3･(a+b)/2 ≧ 3･√(ab)
　　7･(b+c)/2 ≧ 7･√(bc)
　　5･(c+a)/2 ≧ 5･√(ca)
　辺々たす。

(3)　a^2 +b^2 +c^2 =T のとき、 x^2 +y^2 ≧ 2xy より
　　(左辺)･T = 3 + (a^2){(1/b)^2 +(1/c)^2} +(b^2){(1/c)^2 +(1/a)^2} +(c^2)/{(1/a)^2 +(1/b)^2}
　　≧ 3 +(a^2)(2/bc) +(b^2)(2/ca) +(c^2)(2/ab) = 3 +2(a^3 +b^3 +c^3)/(abc) = (右辺).

(4) a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とすると、 t≦√(3su).
省8

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64(5): 05/02/02 21:54 AAS
>57(2)
　a+b+c=s とする。 (ab)^(5/4) < ab(2s+a+b)/(4√s) を循環的に加えると(注)により、
　(左辺) ≦ (ab+bc+ca)(√s)/2 +［ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)]/(4√s)
　　　≦ (1/6)s^(5/2) +(1/14)s^(5/2) = (5/21)s^(5/2).

(注)　ab+bc+ca = {2(a+b+c)^2 -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2}/6 ≦ (1/3)s^2.
　　　ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) = (1/7){2[(a+b+c)^3 -6abc]-(a-b)(a^2-b^2)-(b-c)(b^2-c^2)-(c-a)(c^2-a^2)} ≦ (2/7)s^3.
ばらばらで、スマソ。

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97(1): 05/02/15 02:11 AAS
>>64
> >57(2)
> 　a+b+c=s とする。 (ab)^(5/4) < ab(2s+a+b)/(4√s) を循環的に加えると

これって、どうやって思いつくんですか？

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104(1): 05/02/19 01:23 AAS
>>64

>>57(2)は、ピッタリ最大値が求まらないでしょうか？

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675: 2006/04/07(金)00:47 AAS
>>57 問題B

(8)　A,B < π/2, C'=Min{C,π-C} としてよい。 0<A,B,C'≦π/2, A+B+C' ≦π.
　f(x)={sin(x)^2}/x とおくと
　(与式) = f(A)+f(B)+f(C) ≦ f(A)+f(B)+f(C') ≦ 3f((A+B+C')/3) ≦ 3f(π/3) = (27/4π)　(← *)
　 = 2.14859173174058703287993080552894….　等号はA=B=C=π/3 (正三角形)

*)　0<x≦π/3 では tan(x)/x ≦ √3 だから
　f '(x) = {2-tan(x)/x}cos(x){sin(x)/x} >0 fは単調増加で上に凸 (0<x≦π/3).
　g(x)=sin(x),　h(x)=sin(x)/x とおくと補題より f"(x)<0 (0<x≦π/2).

〔補題〕
　f(x)=g(x)h(x), g(x)≧0, h(x)≧0 とするとき
省4

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683: 2006/04/10(月)01:40 AAS
AA省

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