[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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439(3): 2005/09/21(水)00:55 AAS
LMO 2002 らしい
正の数 a、b、c、x、y、z が a+x = b+y = c+z = 1 をみたすとき、
　 (abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3

( ﾟ∀ﾟ) 分からんぽよ。

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440(1): 2005/09/22(木)06:02 AAS
>>439
こうかな？
s=1/√x、t=1/√y、u=1/√zとして1/(ay)+1/(bz)+1/(cx)=s/(a/s)+t/(b/t)+u/(c/u)。
y=1/xに関する凸不等式より
(s/(s+t+u))(a/s)+(t/(s+t+u))(b/t)+(u/(s+t+u))(c/u))≧1/((ax+b+c)/(s+t+u))=(s+t+u)/(a+b+c)。
∴1/(ay)+1/(bz)+1/(cx)≧(1/√x+1/√y+1/√z)^2/(a+b+c)。
∴(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))(a+b+c)≧(1/√x+1/√y+1/√z)^2―(1)。
同様にして
∴(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))(x+y+z)≧(1/√a+1/√b+1/√c)^2―(2)。
(1)+(2)より
省13

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442(1): 2005/09/23(金)14:43 AAS
>439
こうかな?
　a+x-1=ξ, b+y-1=η, c+z-1=ζ とおく。
　abc = a(1-y+η)c, xyz = (1-a+ξ)yz より,
　(abc + xyz)(1/ay) = c/y -c +(c/y)η + z/a -z +(z/a)ξ = c/y +z/a -1 -ζ +(c/y)η +(z/a)ξ.
　循環的にたすと、
　(左辺) = (c/y + y/c) + (a/z + z/a) + (b/y + y/b) -3 + ��
　　= 3 + (y-c)^2 /cy + (z-a)^2 /az + (y-b)^2 /by + ��
　　≧ 3 + ��.
　ここに、�� = (z/a -b/x -1)ξ +(x/b -c/y -1)η +(y/c -a/z -1)ζ.
省2

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444(1): 2005/09/23(金)16:28 AAS
>>439
> 正の数 a、b、c、x、y、z が a+x = b+y = c+z = 1 をみたすとき、
> 　 (abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3

これですな。しかし harazi の証明が分からんぶー
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