[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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301(3): 2005/05/27(金)21:35 AAS
しょぼいけど、３問

問 A.371
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu
問 387
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.cms.math.ca
問 3040
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.journals.cms.math.ca

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304: 2005/05/28(土)20:57 AAS
>301
問 387.
　a,b,c,d は実数で av-bu=1 のとき a^2 +u^2 +b^2 +v^2 + au+bv ≧ √3 を示せ.

　a^2 +b^2 =c, u^2 +v^2 =w とおく。
　(au+bv)^2 = cw - |av-bu|^2 = cw -1.
　(左辺) = c+w +(au+bv) = 2･√(cw) ±√(cw-1)
　↓の補題により、 (左辺) ≧ √3, 　等号成立は c=w=2/√3, au+bv=-1/√3, av-bu=1 のとき.
　　(例) a = -b/√3 = u = v/√3 = ±(1/2)√c.

【補題】 x≧1 のとき 2√x -√(x-1) ≧ √3.
(略証) y=√x は上に凸だから
省1

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309: 2005/06/02(木)08:54 AAS
>301
問 A.371' 実数a,b,cについて a+b+c+1≧0, a+b≦c+1, b+c≦a+1, c+a≦b+1 が与えられている。次を示せ。
　a^2 +b^2 +c^2 ≦ 2abc +1.

(略証)　a+b+c+1=s, (a+1)-(b+c)=x, (b+1)-(c+a)=y, (c+1)-(a+b)=z とおくと
　1-c=(x+y)/2, 1+c=(z+s)/2.
　�� ≡ (2abc +1) - (a^2 +b^2 +c^2) = (1-c^2) - [(1-c)/2](a+b)^2 - [(1+c)/2](a-b)^2
　= [(1-c)/2]{(c+1)^2 -(a+b)^2} + [(1+c)/2]{(1-c)^2 -(a-b)^2}
　= [(1-c)/2](a+b+c+1)[c+1-(a+b)] + [(1+c)/2][b+1-(c+a)][a+1-(b+c)]
　= (1/4)(x+y)sz + (1/4)xy(z+s) = (xyz+xys+xzs+yzs)/4.
　∴ s,x,y,z≧0 ⇒ �凵�0.
省2

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312(1): 2005/06/03(金)10:42 AAS
>301
問 3040
　左辺をF(a,b,c), 1/a-1/b=x, 1/b-1/c=y とおく。
　{a,b,c}を入れ替えたときF(a,b,c)が最大になるのは a<b<c の場合、を示す。
　F(a,b,c) - F(a,c,b) = (1+1/a)y,
　F(a,b,c) - F(c,b,a) = 2(2+1/b)(x+y),
　F(a,b,c) - F(b,a,c) = (3+1/c)x,
　F(a,b,c) - F(b,c,a) = (3+1/c)x + (1+1/b)(x+y),
　F(a,b,c) - F(c,a,b) = (3+1/b)(x+y) + (1+1/a)y.
　∴ {a,b,c}を入れ替えたときF(a,b,c)が最大になるのは x>0y>0 のとき。
省3

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