[過去ログ] 不等式への招待 第2章 (989レス)
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208
(6): 2005/03/23(水)21:25 AAS
【1】S(n)=Σ[k=1..n]1/k^2, A=π^2/6 とすると、
A{1-(6n+1)/(2n+1)^2}<S(n)<A{1-1/(2n+1)^2}

【2】∫[0..1] x/cos(x) dx < log2
209
(1): 2005/03/23(水)21:54 AAS
>>208 【2】
まず、x≧0 において cos x ≧ 1-(x^2)/2 を示す
f(x) = (左辺)-(右辺) とおいて、微分すれば(以下略)
したがって、
 ∫[0..1] x/cos(x) dx <∫[0..1] x/{1-(x^2)/2} dx = log2

( ゚∀゚) テヘッ
210
(2): 2005/03/24(木)10:27 AAS
>208 【2】
 調子に乗って下限も出しますた…
 0<a<√2 とする。

〔補題〕 x≧0 のとき 1 -(x^2)/2 +(x^4)/24 ≧ cos(x) ≧ 1 -(x^2)/2.
(略証) cos(x)≦1 を2回積分すると -cos(x)≦(x^2)/2 -1, さらに2回積分すると cos(x)≦(x^4)/24 -(x^2)/2 +1. (終)

x/{1 -(x^2)/2 +(x^4)/24}
 = (√3)[ x/{3-√3 -(x^2)/2} -x/{3+√3 -(x^2)/2} ]< x/cos(x) < x/{1-(x^2)/2}.
∴ (√3)[ log{(3+√3 -(x^2)/2)/(3-√3 -(x^2)/2)} ] < ∫ x/cos(x) dx < [ -log{1-(x^2)/2} ].
∴ (√3)[ log{(3+√3 -(a^2)/2)/(3-√3 -(a^2)/2)} -log{(3+√3)/(3-√3)} ] < ∫_[0..a] x/cos(x) dx < -log{1-(a^2)/2}.

a=1 のとき
省3
213
(1): 2005/03/24(木)12:29 AAS
>>208
(1) 0<x<π/2において sin(x)<x<tan(x) となる。各辺の逆数を取って二乗すれば
cot^2(x)<1/x^2<cosec^2(x) が得られる。これから
cot^2(kπ/(2n+1))<1/(kπ/(2n+1)^2<cosec^2((kπ/(2n+1)) (k=1,・・・,n)が成り立つ。
k=1,…,nとして和を取れば
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))<Σ[k=1,n]1/(kπ/(2n+1)^2<Σ[k=1,n]cosec^2((kπ/(2n+1)) 

1+cot^2(kπ/(2n+1))=cosec^2((kπ/(2n+1)) であるので
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))の値を求めると、
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))=n(2n-1)/3 となる。(計算略)
よって
省4
214
(1): 2005/03/24(木)19:00 AAS
>>208
(1) 別解(三角函数を使わない)

〔補題〕 A - 1/(n+1/2) < S(n) < A - 1/(n+1), ここに A=(π^2)/6.
 S(n) = 1 + Σ[k=2..n) 1/(k^2) ≦ 1 + Σ[k=2..n] 1/(k^2 -1/4)
 = 1 + Σ[k=2..n] {1/(k -1/2) -1/(k +1/2)} = 1 + 2/3 - 2/(2n+1) ≦ 5/3 (上界).
 有界単調列は収束するから、その極限をζ(2) =A とおく。
 S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) < A - Σ[k>n] 1/{k(k+1)} = A - Σ[k>n] {1/k -1/(k+1)} = A - 1/(n+1).
 S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) > A - Σ[k>n] 1/(k^2 -1/4)
 = A - Σ[k>n] {1/(k -1/2) -1/(k +1/2)} = A - 1/(n +1/2). (終)

 A -B(6n+1)/(2n+1)^2 < S(n) < A -C/(2n+1)^2 とおくと、(補題)から
省2
215
(1): 2005/03/24(木)21:37 AAS
>>208-210 【2】
さらに調子に乗って、簡単な不等式を作りました。 華麗に証明してね。
 log2 < ∫[0, π/3] x/cos(x) dx < 1

( ゚∀゚) テヘッ
248: 2005/04/02(土)23:02 AAS
>>208 【2】
又々さらに調子に乗って上限も改良しますた。 消して鰈ぢゃねゑが。。。
 I ≡ ∫_[0..a] x/cos(x) dx.

〔補題〕x>0 で cos(x) > 1 -(1/2)x^2 +(1/24)x^4 -(1/720)x^6.
(略証) -cos(x) ≧ -1 を6回積分する。始点はx=0とする。(終)

 x^2=X とおくと 右辺は 1 -(1/2)X +(1/24)X^2 -(1/720)X^3 ≡ f(X).
実根を ±r とすると、r = √R = 1.5699058251612… < π/2.
 〔∵ R = 10 + 2{5(3√14 -11)}^(1/3) - 2{5(3√14 +11)}^(1/3) 〜 2.4646 〕

 f(X) = (1 -X/R)g(X) とおける。   (← 因数定理)
 g(X) ≡ 1 - (1/2 -1/R)X + (R/720)X^2 = (R/720){Γ^2 + (Xo-X)^2} > 0.
省10
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