[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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200(3): 05/03/20 19:06 AAS
前スレ
931 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：05/01/16(日) 15:49:05

　★の不等式　「t>0 ⇒ t^n ≧ nt-(n-1)」 は次にもあるよ。
　微積分と一つの不等式「数学100の定理」日本評論社, p.89 (1983)

（問題）
　Ａ = {x(1)+x(2)+･･･+x(n)}/n,
　Ｇ = {x(1)x(2)････x(n)}^(1/n),
　Ｈ = n/{1/x(1) +1/x(2) + .... +1/x(n)} とおくとき
　Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
--------------------------------------------------------
省2

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201(3): 05/03/20 21:30 AAS
>200
【Sierpinskiの不等式】
　[>200]のとき、　Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
(略証)
　Ｆ ≡ Ａ^(n-1)･Ｈ/Ｇ^n とおき、Ｆ≧1 を示す。
　nに関する帰納法による。
　n=2 のとき ＡＨ=x(1)x(2)=Ｇ^2 だから等号成立、Ｆ=1.
　nに対して成り立つとする。x(n+1)=x ' とおくと n+1 に対しては
　Ａ' = (nＡ+ x ')/(n+1), Ｇ ' = (Ｇ^n･x ')^(1/(n+1)), Ｈ ' = Ｈ(n+1)x '/(Ｈ+nx ').
　Ｆ/Ｆ ' = {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}(Ｈ+nx ') = {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}{nＡ' -(n-1)Ａ -(Ａ-Ｈ)/(n+1)}
省4

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202(1): 201 05/03/20 21:37 AAS
>200 (>201の補足)　

【補題】Ａ≧Ｈ.
　(略証) Ａ／Ｈ = (1/n^2){Σ[i=1,n] x(i)}{Σ[j=1,n] 1/x(j)}
　= 1 + (1/n^2)Σ[i<j] {x(i)/x(j) +x(j)/x(i) -2}
　= 1 + (1/n^2)Σ[i<j] {x(i)-x(j)}^2 /[x(i)x(j)] ≧ 1. (終)

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203(1): 201 05/03/20 22:05 AAS
>200 (>201の補足)
【★】　t > -1 ⇒ t^n ≧ nt -(n-1).
(略証)
(i) t≧1のとき
　t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t^2 + t + 1 ≧ n.
　の両辺に t-1 をかければ t^n - 1 ≧ nt - n が得られる。
(ii) -1＜t＜1のとき
　1 + t + t^2 + ... + t^(n-2) + t^(n-1) ≦ n.
　の両辺に 1-t をかければ 1 - t^n ≦ n - nt が得られる。
いずれの場合も t^n ≧ nt-(n-1) が成り立つ。　(終)

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