[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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176(4): 05/03/08 13:44 AAS
正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
　(1+a)(1+b)(1+c) ≧ 8(1-a)(1-b)(1-c)

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177(3): BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU 05/03/08 18:07 AAS
Re:>176
9abc-7(ab+ac+bc)+9(a+b+c)-7にc=1-a-bを代入した式
f(a,b)=-9a^2b-9ab^2+7a^2+16ab+7b^2-7a-7b+2が0<a,0<b,a+b<1の範囲で0以上になることを示す。
bを固定するごとに、0<a<1-bの範囲での挙動を調べる。
∂_af(a,b)=(14-18b)a-9b^2+16b-7となる。
b<7/9のとき、a=(9b-7)(b-1)/(14-18b)で極小となる。
以下略(もうめんどくさい。)

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178(2): 05/03/08 18:57 AAS
>176
(解1)
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　(左辺) - (右辺) = (1+s+t+u) -8(1-s+t-u) = -7 +9s -7t +9u
　= (s^3 -4st+9u) + (s^2 -3t) + (s-1)(4t -s^2 -2s+7) ≧0.　（←s=1）
(解2)
　f(x) = Ln{(1+x)/(1-x)} = Ln(1+x) - Ln(1-x) とおくと
　f '(x) = 1/(1+x) +1/(1-x) = 2/(1-x^2) は(0,1)で単調増加，　f(x)は(0,1)で下に凸.
　∴ Jensen により f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3).
　∴ (1+a)(1+b)(1+c)/[(1-a)(1-b)(1-c)] ≧ [(1 +1/3)/(1 -1/3)]^3 = 2^3 =8.
省1

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179(2): 05/03/08 22:47 AAS
AA省

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180: 179 05/03/08 23:09 AAS
リンク先間違った。 >>176-178です。
３つレスがあるのに気づかなかった。

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