[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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102(4): 05/02/19 00:57 AAS
power mien の積分形を考えてて思ったこと。

区間 [a,b] で連続な f(x)>0 に対して、
　lim[r→0] {(∫[a,b] {f(x)}^r dx)/(b-a)}^(1/r)
は、e^{(∫[a,b] \log f(x) dx)/(b-a)} になりますか？

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103(1): 05/02/19 00:57 AAS
>>102
power mean … ('Ａ`)

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112(1): 05/02/20 07:41 AAS
>>102-103
もっと詳しく！

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120: 102 05/02/21 04:47 AAS
>>112 [power mean]
正の数 a_1, …, a_n の r次平均 M_r = [((a_1)^r + … + (a_n)^r)/n]^(1/r) について
　lim[r→+∞]M_r = max{a_1, …, a_n}
　lim[r→-∞]M_r = min{a_1, …, a_n}
　lim[r→0]M_r = G （相乗平均）

これが関数もときにも成り立ってるのかなと思ったわけで…
区間 [a,b] で連続な f(x)>0 に対して、
　lim[r→+∞] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r) = max[a≦x≦b]f(x)
　lim[r→-∞] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r) = min[a≦x≦b]f(x)
が成り立つから、
省2

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130(2): ◆BhMath2chk 05/02/23 18:00 AAS
>>102
ｌｏｇ（ｆ（ｘ））が有界のとき
ｆ（ｘ）＾ｒ＝ｅｘｐ（ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｒ）＝１＋ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｒ＋Ｏ（ｒ＾２）。

∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ＝∫ｄｘ＋ｒ∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ＋Ｏ（ｒ＾２）。

∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ＝１＋ｒ∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ＋Ｏ（ｒ＾２）。

（１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ＾２））＾（１／ｒ）＝ｅｘｐ（ｃ＋Ｏ（ｒ））なので
（∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ）＾（１／ｒ）＝ｅｘｐ（∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ＋Ｏ（ｒ））。

ｌｉｍ（（∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ）＾（１／ｒ））＝ｅｘｐ（∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ）。

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