[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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101(5): 05/02/18 04:01 AAS
問題 1713. nCr (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
問題 1714 不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.nwu.edu
問題 792 不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.nwu.edu
（再掲）
問題 11127 三角関数と不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.nwu.edu
108(1): 05/02/19 02:49 AAS
>>101
問題1713 は、前スレの終わりのほうで
似たようなやつがあったけど、できそうでまだできてない…。
OS再インストールしたときに、過去ログの保存を忘れててアボーンしてしまった。
dat落ちしてから、見れるようになるまで何ヶ月くらいかかるのでせうか？
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8 < ﾓｳ ﾀﾞﾒﾎﾟ…
'`
￣
111(1): 05/02/19 22:28 AAS
>101 [1713]
(問題) Σ[n=4,∞) Σ[k=2,n-2] 1/Ｃ[n,k] = 3/2.
(解答) (左辺) = Σ[n=4,∞) Σ[k=2,n-2] …… = Σ[k=2,∞) Σ[n=k+2,∞) …… を使おう。
1/Ｃ[n,k] = k!/{n(n-1)…(n-k+1)} = {k!/(k-1)}{ 1/[(n-1)(n-2)…(n-k+1)] -1/[n(n-1)…(n-k+2)] }
= {k/(k-1)}{ 1/Ｃ[n-1,k-1] -1/Ｃ[n,k-1] }.
∴ Σ[n=k+2,N] 1/Ｃ[n,k] = {k/(k-1)}{ 1/Ｃ[k+1,k-1] -1/Ｃ[N,k-1] }
= {k/(k-1)}{ 2/[k(k+1)] -1/Ｃ[N,k-1] } = {1/(k-1)}{ 2/(k+1) -k/Ｃ[N,k-1] }
= {1/(k-1)}{1 -(k-1)/(k+1) -k/Ｃ[N,k-1] } → 1/(k-1) -1/(k+1). (N→∞)
k=偶数(2,4,…)についての和は 1/(2-1) =1, k=奇数(3,5,…)についての和は 1/(3-1) =1/2.
よって (左辺) = 1/(2-1) + 1/(3-1) = 1 +1/2 =3/2.
省1
114(1): 111 05/02/20 15:55 AAS
>101 [No.1714]
(問題) m,n,x,y,z>0 x+y+z=s のとき、
(x^4)/[(mx+ny)(my+nx)] + (y^4)/[(my+nz)(mz+ny)] + (z^4)/[(mz+nx)(mx+nz)] ≧ (1/3)[s/(m+n)]^2.
(解答) 4(mx+ny)(my+nx) = [(m+n)(x+y)+(m-n)(x-y)][(m+n)(x+y)-(m-n)(x-y)]
= [(m+n)(x+y)]^2 - [(m-n)(x-y)]^2 ≦ [(m+n)(x+y)]^2 ≦ 2(m+n)^2(x^2+y^2).
4(x^4) = (x^2+y^2)(3x^2 -y^2) + (x^2 -y^2)^2 ≧ (x^2+y^2)(3x^2 -y^2).
辺々割って、
(x^4)/[(mx+ny)(my+nx)] ≧ (1/2)(3x^2 -y^2)/(m+n)^2.
循環的に加えて、
(左辺) ≧ (x^2 +y^2 +z^2)/(m+n)^2 ≧ (1/3)(x+y+z)^2/(m+n)^2 ≧ (1/3)[s/(m+n)]^2.
省6
117(1): 05/02/20 21:11 AAS
>101 [No.792]
一般に、正係数の多項式Ｆ(x, y, …) については、
x_k≧0, y_k≧0, … (k=1,2,…,n) ⇒ Σ[k=1,n] Ｆ(x_k, y_k, …) ≧ Ｆ(Ｇx, Ｇy, …).
ここにＧは相乗平均で、Ｇx={Π[k=1,n] x_k}^(1/n), Ｇy={Π[k=1,n] y_k}^(1/n), …
ぬるぽ
119: 117 05/02/21 00:46 AAS
>101 (No.792)
[117] の訂正、すまそ。
(1/n)Σ[k=1,n] Ｆ(x_k, y_k, …) ≧ Ｆ(Ｇx, Ｇy, …).
(略証) 項ごとに相加･相乗平均を使う。
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