[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part411 (1002ﾚｽ)
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407(10): [] 2021/04/08(木) 19:18:45 ID:Qe2kdbs3(1) AAS
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)を頂点とする三角形の周および内部をTとする。
T上の点Pに対し、Pからxy平面に下した垂線の足をQとし、
Pからz軸に下した垂線の足をRとする。
PがT上を動くとき、線分QRが通過する領域の体積を求めよ。
領域がどのような図形かまずわかりません。
概形が分からんでも断面が分かれば積分で行けるとですが、その断面さえ分からないので
どうしましょう。
410: [sage] 2021/04/08(木) 22:23:15 ID:mnaB2oLm(1) AAS
>>407
T: x+y+z=1, x,y,z≧0
Qの存在領域: 0≦x,y,x+y≦1,z=0
Q(a,b)とするときQR: x=a(1+z/(a+b-1)), y=b(1+z/(a+b-1)), 0≦z≦1-a-b
求める領域は{(x,y,z)| 0≦a, 0≦b, a+b≦1, x=a(1+z/(a+b-1)), y=b(1+z/(a+b-1)), 0≦z≦1-a-b}
領域に(p,q,r)が含まれるのは p:q=a:b,p+q=s≦a+b=c≦1 において s=c(1+r/(c-1)) となるときであり
s=c(1+r/(c-1)) は r=f(c)= -c+(1+s)-s/c
fの導関数は f'(c)=-1+s/c^2 であり、f'(c)=0 は c=√s のとき。
s≦c≦1 における r=f(c) は c=s,1 のとき最小値 r=0, c=√s のとき最大値 r=f(c)= (1-√s)^2 を連続的にとる。
よって領域は{(x,y,z)| 0≦x, 0≦y, x+y≦1, 0≦z≦(1-√(x+y))^2}
414: [sage] 2021/04/09(金) 03:34:09 ID:dQHFddkg(1) AAS
>>407
こういう「立体の中を線分が動くときに通過する領域」って表現には何となく違和感がある
線分がどんな経路をとれば立体の中の点が網羅できるのか？
どうやっても線分が通過しない立体内の点ができてしまうのではないか？
417: [] 2021/04/09(金) 07:00:00 ID:xA01Tc6c(1) AAS
>>407
1/18
420(2): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2021/04/09(金) 19:19:06 ID:eBTiq7J0(1/2) AAS
前>>393
>>407
z=tで切った直角二等辺三角形をz=0から1まで足し集め、
V=∫[t=0→1](1/2)(1/16t)^2
=∫[t=0→1]dt/512t^2
=1/18
たぶん部分積分。
>>419
遺伝子が気が強い女性たちに少しずつ傷つけられてもう残せない可能性がある。
421(1): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2021/04/09(金) 19:36:24 ID:eBTiq7J0(2/2) AAS
前>>420
>>407
xy平面を底面とした二方を直角の壁に遮られたコーナーポストがz軸として、
高さ1にある点(0,0,1)から微細な粒の砂を流す。
扇状地のようななだらかな地形ができて裾野の端がx+y=1
xz平面やyz平面にできる領域境界線の形状は双曲線だが、
砂という物を放してできる曲線だからz軸からy=x方向には放物線を描いてると思う。
底面が一辺1の正方形の1/2
高さ1の三角錐なら三角柱の1/3
放物線の小さいほう(外側)は長方形の1/3
1/2×1/3×1/3=1/18
たぶんこういうことだと思うけど、
1/t^2の部分積分をできれば思いだしたいところ。
423(3): [sage] 2021/04/09(金) 23:04:12 ID:fbFoqrCh(1) AAS
>>407
図形の３D動画を作図。
単色
外部ﾘﾝｸ[mp4]:i.imgur.com
タイガース配色
外部ﾘﾝｸ[mp4]:i.imgur.com
Helpファイルを見ながらの作図なので間違いがあるかもしれんので
粘土細工による検証を希望します。
426(4): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2021/04/10(土) 01:45:59 ID:wQe+6Y/i(1/4) AAS
前>>421
>>407
思い浮かぶ立体はまさに>>423の通りだけど曲面の式がわからない。
xy平面とxz平面における境界線が円弧なら、
1/2(1-π/4)^2=(4-π)^2/(16×2)
=(16-4π+π^2)/32
=1/2-π/4+π^2/32
=0.02302697413……
434: [sage] 2021/04/10(土) 09:21:13 ID:Tq6xhZve(1/4) AAS
>>407
題意より
T = {(x,y,z) | 0≦x,y,z, x+y+z=1}
P(x_p, y_p, z_p)
とおけば
Q(x_p, y_p, 0)
R(0, 0, z_p)
直線QR： x/(x_p) = y/(y_p) = 1 - z/(z_p),
点P が直線 x+y=a, z=1-a (0<a<1) 上にある場合は平面
(x+y)/a + z/(1-a) = 1,
上にある。
∴ 包絡面は √(x+y) + √z = 1,
>>426
円弧ぢゃないと思う…
435: [sage] 2021/04/10(土) 09:33:16 ID:Tq6xhZve(2/4) AAS
>>407
1/30
788(1): [sage] 2021/04/24(土) 15:42:35 ID:1MxxZ3i2(3/4) AAS
>407みたいに
>領域がどのような図形かまずわかりません。
という人には３D動画を投稿したら理解の助けにはなったと思う。
>572みたいなシミュレーション依頼にはヒストグラムを作れば分布が確認できる。
できない人はスルーすればいいだけの話じゃないの？
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