[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part410 (1002ﾚｽ)
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406(3): [sage] 2021/03/02(火) 17:53:50 ID:KDDWDoqg(9/9) AAS
「pが素数ならp^4+14は素数ではないことを示せ」
という京大の問題だけどなんで5ではなくて14に問題設定したのだろう？
p^2+5でもいい気がするし。

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410: [sage] 2021/03/02(火) 22:04:06 ID:IddjJv3w(7/7) AAS
よく>>406のレベルで数学板に書き込む気になるよな

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425(1): [sage] 2021/03/03(水) 12:38:41 ID:bYsQl+7T(3/3) AAS
>>406
p=3のとき
p^2+5=14で「素数ではない」は成立。

3以外の素数は3n+1もしくは3n+2(nは非負整数)で表せる
p^2+5は
(3n+1)^2+5=9n^2+6n+6=3(3n+2n+2)
(3n+2)^2+5=9n^2+12n+9=3(3n+4n+3)
で3の倍数だから「素数ではない」が成立。

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428(1): 407 [sage] 2021/03/03(水) 12:57:45 ID:SY070HAY(1/3) AAS
>>406
　解が何とおりもあるから。

・解3
　p=3 のとき
　　p^4 + 14 = 81 + 14 = 5・19　でアウト
　p≠3 のとき
　　p^4 + 14 = (p^2)^2 + 14 ≡ 1^2 + 14 = 3･5 ≡ 0　(mod 3)
　　でアウト

・解5
　p=5 のとき
　　p^4 + 14 = 625 + 14 = 3･3･71　でアウト
　p≠5 のとき
　　p^2 ≡ ±1,
　　p^4 + 14 ≡ 1 + 14 = 3･5 ≡ 0　　(mod 5)
　　でアウト

・解15
　p=3 のとき
　　p^4 + 14 = 95 = 5・19　でアウト
　p=5 のとき
　　p^4 + 14 = 639 = 3･3･71　でアウト
　p≠3,5 のとき
　　p ≡ ±1, ±2, ±4, ±8　　(mod 15)
　　p^2 ≡ ±1, ±4
　　p^4 + 14 ≡ 1 + 14 ≡ 0　　(mod 15)
　　でアウト

>>420
　9 = 3×3　は素数ではありません。

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