純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

773(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)15:53 ID:fdSQKtbP(9/21) AA×
>>436 >>372 >>736 >>761 >>761

2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

[240|320|480|600|100%|JPG|べ|ﾚｽ栞|ﾚｽ消]

773: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/15(日) 15:53:06.17 ID:fdSQKtbP

>>436
　前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
(引用終り)

戻るよ
纏めると
１）上記の方程式の根をα1,α2,α3,α4,α5 として
　最小分解体 Q(α1,α2,α3,α4,α5)だが、上記よりQ(cos(2kπ/11))に等しい
　また、1の11乗根ζ11＝cos(2π/11)+i sin(2π/11)として
　Q(α1,α2,α3,α4,α5)＝Q(cos(2π/11))=Q(ζ11 + 1/ζ11)⊂ Q(ζ11)⊂Q(ζ44)
２）ベキ根表示には、ζ_5が必要で
　Q(ζ11)⊂Q(ζ_5,ζ11)⊂Q(ζ55) (多分 Q(ζ_5,ζ11)＝Q(ζ55) >>736のCyclotomic fields Proposition 2より )
３）Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれない>>761
　因子4を含むQ(ζ220)には、虚数単位iは含まれる
　だから、実数のsin(2π/11)のベキ根表示は、Q(ζ220)には含まれるが、Q(ζ55)には含まれない
　なお虚数で i sin(2π/11)∈Q(ζ55)は 成り立つ>>761

これ
なかなか面白い問題だったね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E4%BD%93
与えられた多項式の分解体（ぶんかいたい、英: splitting field）とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数（英語版）が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/773

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 229 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.079s